Considérons le cas général où l’équation (12) n’a que des racines simples ; chacune de ces racines correspond alors à un maximum ou à un minimum de Mais la fonction étant périodique, présente dans chaque période au moins un maximum et un minimum et précisément autant de maxima que de minima.
Or pour les valeurs de correspondant a un minimum, est positif ; pour les valeurs correspondant à un maximum, cette dérivée est négative.
Donc l’équation (12) aura précisément autant de racines pour lesquelles cette dérivée sera positive que de racines pour lesquelles cette dérivée sera négative, et par conséquent autant de racines pour lesquelles sera positif que de racines pour lesquelles sera négatif.
Cela revient à dire qu’il y aura précisément autant de solutions périodiques stables que de solutions instables, en donnant à ce mot le même sens que dans le no 59.
Ainsi, à chaque système de valeurs de et de correspondront au moins une solution périodique stable et une solution périodique instable et précisément autant de solutions stables que de solutions instables, pourvu que soit suffisamment petit.
Je n’examinerai pas ici comment ces résultats s’étendraient au cas où l’équation (12) aurait des racines multiples.
Voici comment il faudrait continuer le calcul.
Imaginons que l’on ait déterminé complètement les quantités
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\mathrm {S} _{i}^{0},\quad \mathrm {S} _{i}^{1},\quad \ldots ,\quad \mathrm {S} _{i}^{m},\\[1.5ex]\mathrm {T} _{i}^{0},\quad \mathrm {T} _{i}^{1},\quad \ldots ,\quad \mathrm {T} _{i}^{m-1},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a582cf24974c2aa8bb4006f264fbfdd2bd4998be)
et que l’on connaisse les fonctions et à une constante près. Supposons qu’on se propose ensuite de calculer d’achever la détermination des fonctions et et de déterminer ensuite les fonctions et à une constante près.
En égalant les puissances semblables de dans les équations (4),
