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CHAPITRE IV.
La détermination de
est la seule partie du calcul qui présente
quelque difficulté.
Les équations analogues à (7) et à (8), formées en égalant dans
les équations (2) les coefficients des puissances semblables de
permettent ensuite de déterminer sans peine les
les
et
les
Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Les exposants caractéristiques
sont développables suivant
les puissances croissantes de
Concentrant donc toute notre attention sur la détermination
de
nous allons étudier spécialement l’équation (11). Nous
devons chercher d’abord à déterminer les quantités
et
On a évidemment
![{\displaystyle \mathrm {C} _{ik}^{0}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3186741459adadbd446fdaf5c17f96e7d0d67bf)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} _{ik}^{0}={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df544ecab7ec9f81cf84d30b1d8a040e2d6784a3)
ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{ik}^{0}&=-{\textstyle \sum }\mathrm {A} m_{i}m_{k}\sin \omega ,&&\left(\omega =m_{1}y_{1}^{0}+m_{2}y_{2}^{0}+m_{3}y_{3}^{0}+h\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd8a3a64c807b8d952905d8888c6085d12afab9)
et
![{\displaystyle b_{ik}=-\mathbb {S} \,\mathrm {A} m_{i}m_{k}\sin \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815611e3ed0da99d78cd0f6145aebfeba0cd08d8)
La sommation représentée par le signe
s’étend à tous les termes,
quelles que soient les valeurs entières attribuées à
et
La sommation représentée par le signe
s’étend seulement aux
termes tels que
![{\displaystyle n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2}+n_{3}m_{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9601511bf9a54011b3870ec43c329efc16bee82a)
Sous le signe
nous avons par conséquent
![{\displaystyle \omega =m_{2}\varpi _{2}+m_{3}\varpi _{3}+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5563648243091c9251989eea08c2a864422a6fe9)
Cela nous permet d’écrire
![{\displaystyle b_{ik}={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{k}}}\quad (\mathrm {pour} \;i\;\mathrm {et} \;k=2\;\mathrm {ou} \;3).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc58c102fd2445c4e527efb4c10c99d3ad54317)