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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

On aura en particulier

$\mathrm {T} _{1}=\mathrm {T} _{1}^{0}+\mathrm {T} _{1}^{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} _{1}^{2}\mu +\ldots .$

Comme, d’après notre hypothèse, $\beta '_{1}$ qui est la valeur initiale de $\mathrm {T} _{1}$ doit être égale à 1, quel que soir $\mu ,$ on aura pour $t=0$

$\mathrm {T} _{1}^{0}=1,\qquad 0=\mathrm {T} _{1}^{1}=\mathrm {T} _{1}^{2}=\ldots =\mathrm {T} _{1}^{m}=\ldots .$

Ayant ainsi démontré l’existence de nos séries, nous allons chercher à en déterminer les coefficients.

Nous avons

$\mathrm {S} _{i}^{0}=0,\quad \mathrm {T} _{i}^{0}=\eta _{i}^{0}$

et

(4)

$\left\{{\begin{array}{c}\xi _{i}=e^{\alpha t}\left(\mathrm {S} _{i}^{0}+\mathrm {S} _{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots \right),\qquad \eta _{i}=e^{\alpha t}\left(\mathrm {T} _{i}^{0}+\mathrm {T} _{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots \right),\\{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=e^{\alpha t}\left|{\begin{array}{c}{\dfrac {d\mathrm {S} _{i}^{0}}{dt}}+{\sqrt {\mu }}\,{\dfrac {d\mathrm {S} _{i}^{1}}{dt}}+\ldots \\+\alpha \mathrm {S} _{i}^{0}+\alpha {\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{i}^{1}+\ldots \\\end{array}}\right|,\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=e^{\alpha t}\left|{\begin{array}{c}{\dfrac {d\mathrm {T} _{i}^{0}}{dt}}+{\sqrt {\mu }}\,{\dfrac {d\mathrm {T} _{i}^{1}}{dt}}+\ldots \\+\alpha \mathrm {T} _{i}^{0}+\alpha {\sqrt {\mu }}\,\mathrm {T} _{i}^{1}+\ldots \\\end{array}}\right|,\\\end{aligned}}\end{array}}\right.$

Nous développerons d’autre part les dérivées secondes de $\mathrm {F}$ qui entrent comme coefficients dans les équations (2) en écrivant

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}&=\mathrm {A} _{ik}^{0}+\mu \mathrm {A} _{ik}^{2}+\mu ^{2}\mathrm {A} _{ik}^{4}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}&=\mathrm {B} _{ik}^{0}+\mu \mathrm {B} _{ik}^{2}+\mu ^{2}\mathrm {B} _{ik}^{4}+\ldots ,\\-{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}&=\mathrm {C} _{ik}^{0}+\mu \mathrm {C} _{ik}^{2}+\mu ^{2}\mathrm {C} _{ik}^{4}+\ldots ,\\-{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}&=\mathrm {D} _{ik}^{0}+\mu \mathrm {D} _{ik}^{2}+\mu ^{2}\mathrm {D} _{ik}^{4}+\ldots .\\\end{aligned}}\right.$

Ces développements ne contiennent que des puissances entières de $\mu$ et ne possèdent pas, comme les développements (4), des termes dépendants de ${\sqrt {\mu }}.$