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CHAPITRE IV.

et que les éléments suivants sont finis :

(4 bis)

$\left\{{\begin{array}{cccc}n+1\;\mathrm {\grave {a}} \;2n-1\;\mathrm {incl.} &1\;\mathrm {\grave {a}} \;n-1\;\mathrm {incl.} &{\text{puissance 0}}&{\text{puissance 0}}\\1&1\;\mathrm {\grave {a}} \;n-1\;\mathrm {incl.} &\mu &\mu \\2\;\mathrm {\grave {a}} \;n\;\mathrm {incl.} \;\mathrm {et} \;2n&n\;\mathrm {et} \;n+2\;\mathrm {\grave {a}} \;2n\;\mathrm {incl.} &\mu &\mu \\1&n+1&\mu ^{2}&\mu ^{2}\\n+1\;\mathrm {\grave {a}} \;2n-1\;\mathrm {incl.} &n+1&\mu &\mu \\\end{array}}\right.$

Les seuls éléments qui sont finis appartiennent donc aux lignes 1 et $n+1$ à $2n-1$ incl. et aux colonnes 1 à $n-1$ incl. et $n+1$ ou bien aux lignes 1 à $n$ incl. et $2n$ et aux colonnes $n$ et $n+2$ à $2n$ incl.

Notre déterminant devient donc égal au produit de deux autres que j’appellerai $\mathrm {D} _{1}$ et $\mathrm {D} _{2}.$

Le déterminant $\mathrm {D} _{1}$ s’obtiendra en supprimant les lignes

$1,\quad n+1,\quad n+2,\quad \ldots ,\quad 2n-1,$

et les colonnes

$1,\quad 2,\quad 3,\quad \ldots ,\quad n-1,\quad n+1.$

Le déterminant $\mathrm {D} _{2}$ s’obtiendra en supprimant les lignes

$2,\quad 3,\quad 4,\quad \ldots ,\quad n,\quad 2n,$

et les colonnes

$n,\quad n+2,\quad n+3,\quad \ldots ,\quad 2n.$

Voyons comment ces déterminants dépendront de $\eta .$ Pour cela je remarquerai que

$\eta =\lim {\frac {\mathrm {S} }{\mu \,\mathrm {T} }}\quad (\mathrm {pour} \;\mu =0)$

n’entre que dans les termes de la diagonale principale ; or le déterminant $\mathrm {D} _{1}$ contient deux de ces termes, l’un appartenant à la colonne et à la ligne $n,$ l’autre à la colonne et à la ligne $2n.$

Le déterminant $\mathrm {D} _{2}$ contient aussi deux de ces termes, l’un appartenant à la colonne et à la ligne 1, l’autre à la colonne et à la ligne $n+1.$

Il en résulte que $\mathrm {D} _{1}$ et $\mathrm {D} _{2}$ sont des polynômes du deuxième degré en $\eta .$ Ainsi notre équation en $\eta$ se décompose en deux équations du deuxième degré,

$\mathrm {D_{1}} =0,\qquad \mathrm {D_{2}} =0.$