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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les éléments de la $(n+1)$^ième colonne s’écrivent

${\begin{aligned}{\frac {d\Delta x_{1}}{d\varpi _{1}}}&,\quad {\frac {d\Delta x_{2}}{d\varpi _{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\Delta x_{n}}{d\varpi _{1}}},\\{\frac {d\Delta y_{1}}{d\varpi }}+1-e^{\eta \mu \mathrm {T} }&,\quad {\frac {d\Delta y_{2}}{d\varpi _{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\Delta y_{n}}{d\varpi _{1}}}\cdot \end{aligned}}$

Tous ces éléments sont divisibles par $\mu \,;$ mais je dis que les $n$ premiers et le dernier sont divisibles par $\mu ^{2},$ ou, ce qui revient au même, que

${\frac {d\Delta x_{k}}{\mu \,d\varpi _{1}}}={\frac {d\Delta y_{n}}{\mu \,d\varpi _{1}}}=0\quad \mathrm {pour} \quad \mu =0.$

En effet, nous avons trouvé

${\begin{aligned}{\frac {d\Delta x_{k}}{\mu \,d\varpi _{1}}}&=\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\varpi _{k}}},&{\frac {d\Delta y_{n}}{\mu \,d\varpi _{1}}}&=-\mathrm {T} \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\beta _{n}}},\end{aligned}}$

et

${\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{1}}}=0,$

d’où, par différentiation,

${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\varpi _{k}}}={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\beta _{n}}}=0.$
C.Q.F.D.

Cela posé, dans notre déterminant $\mathrm {G} (\eta ,\,\mu ,\,\mu ),$ je divise chaque élément par $\mathrm {T} \,;$ je divise ensuite :

La 1^re ligne par $\mu ,$ les lignes 2, 3, 4, …, $n,$ $2n$ par ${\sqrt {\mu }}.$

La $(n+1)$^ième colonne par $\mu ,$ les colonnes $n,$ $n+2,$ $n+3,$ $\ldots ,$ $2n$ par ${\sqrt {\mu }}.$

Le déterminant est finalement divisé par $\mathrm {T} ^{2n}\mu ^{n+2}.$

Je fais ensuite $\mu =0.$

J’observe que les éléments suivants sont nuls :

Ligne à laquelle
appartient l’élément

Colonne
à laquelle
appartient l’élément

Puissance de µ
par laquelle
l’élément
était divisible

Puissance de µ
par laquelle
l’élément
a été divisé

(4)

$\left\{{\begin{array}{c}2\;\mathrm {\grave {a}} \;n\;\mathrm {incl.} \;\mathrm {et} \;2n\\1\\2\;\mathrm {\grave {a}} \;n\;\mathrm {incl.} \;\mathrm {et} \;2n\\n+1\;\mathrm {\grave {a}} \;2n-1\;\mathrm {incl.} \\\end{array}}\right.$

${\begin{array}{c}1\;\mathrm {\grave {a}} \;n-1\;\mathrm {incl.} \\n\;\mathrm {et} \;n+2\;\mathrm {\grave {a}} \;2n\;\mathrm {incl.} \\n+1\\n\;\mathrm {et} \;n+2\;\mathrm {\grave {a}} \;2n\;\mathrm {incl.} \\\end{array}}$

${\begin{array}{c}\qquad \mu \qquad \\\mu ^{2}\\\mu ^{2}\\\mu \\\end{array}}$

${\begin{array}{c}\qquad {\sqrt {\mu }}\qquad \\\mu {\sqrt {\mu }}\\\mu {\sqrt {\mu }}\\{\sqrt {\mu }}\\\end{array}}$