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CHAPITRE IV.

par $n_{n}^{0}.$ Tous les éléments restent inaltérés sauf ceux de la $(n+1)$^ième colonne, qui deviennent

$0,\quad 0,\quad \ldots ,\quad 0,\quad -n_{1}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad -n_{2}^{0}\varepsilon \mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad -n_{n}^{0}\varepsilon \mathrm {T} .$

Le déterminant $\mathrm {G} _{1},$ par cette double opération, a été multiplié par $(n_{1}^{0})^{2}.$ Divisons-le maintenant par $\varepsilon ^{2},$ en divisant par $\varepsilon$ la première ligne d’une part et la $(n+1)$^ième colonne d’autre part.

Faisons ensuite $\varepsilon =0$ et nous aurons le coefficient cherché.

Le déterminant ainsi obtenu a ses éléments conformes au Tableau suivant :

${\begin{array}{ccccc}{}_{\mathrm {Num{\acute {e}}ro} }&&{}_{\mathrm {Num{\acute {e}}ro} }&&{}_{\mathrm {Valeur} }\\[-0.5ex]{}^{\mathrm {de\;la\;colonne.} }&&{}^{\mathrm {de\;la\;ligne.} }&&{}{^{\mathrm {de\;l'{\acute {e}}l{\acute {e}}ment.} }}\\i\quad (i<n)&&1&&-n_{i}^{0}\mathrm {T} \\n+1&&k\quad (k<n)&&0\\i+n\quad (i>1)&&k\quad (k>1,\,k<n)&&\mathrm {T} {\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{k}}}\\i\quad (i<n)&&k\quad (k>1,\,k<n)&&0\\i+n\quad (i>1)&&1&&0\\i\quad (i<n)&&k+n\quad (k>0)&&-\mathrm {T} {\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}\\n+1&&k+n\quad (k>0)&&-n_{k}^{0}\mathrm {T} \\i+n\quad (i>1)&&k+n\quad (k>0)&&0\\\end{array}}$

On voit que ce déterminant est égal au signe près à

$\mathrm {T} ^{2n}\mathrm {H} _{1}\mathrm {H} _{2}$

$\mathrm {H} _{1}$ et $\mathrm {H} _{2}$ étant les deux déterminants suivants

$\mathrm {H} _{1}=\left|{\begin{array}{ccccc}n_{1}^{0}&n_{2}^{0}&\ldots &n_{n}^{0}&0\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}\,dx_{2}}}&\ldots &{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}\,dx_{n}}}&n_{1}^{0}\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}\,dx_{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{2}}}&\ldots &{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}\,dx_{n}}}&n_{2}^{0}\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots \\{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}\,dx_{n}}}&\ldots \ldots &\ldots &{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{n}^{2}}}&n_{n}^{0}\\\end{array}}\right|$

et $\mathrm {H} _{2}$ étant le hessien de $\mathrm {R}$ par rapport à

$\varpi _{2},\quad \varpi _{3},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n}.$

Si j’observe que $n_{i}^{0}$ est égal, au signe près, à ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},$ je vois que l’on