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CHAPITRE IV.

Dans ${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}$ on doit après la différentiation faire $\beta _{i}=0,$ c’est-à-dire $x_{i}=x_{i}^{0}.$

Nous avons (toujours pour $\mu =0$)

${\frac {1}{\mu }}\Delta x_{k}=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}}}\,dt.$

Dans ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}}}$ on doit remplacer $x_{i}$ par $x_{i}^{0}+\beta _{i},$ et $y_{i}$ par $n_{i}t+\varpi _{i},$ ce qui montre d’abord que

${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\varpi _{k}}}\cdot$

Comme nous nous proposons de différentier $\Delta x_{k}$ par rapport aux $\varpi _{i},$ mais non par rapport aux $\beta _{i},$ nous pouvons tout de suite donner aux $\beta _{i},$ leurs valeurs définitives et faire

$\beta _{i}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad n=n_{i}^{0}.$

Alors $\mathrm {F} _{1}$ devient une fonction périodique de période $\mathrm {T}$ par rapport à $t$ et de période $2\pi$ par rapport aux $\varpi _{i}.$ Soit

$[\mathrm {F} _{1}]=\mathrm {R}$

la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ considérée comme fonction périodique de $t\,;$ il vient

${\frac {\Delta x_{k}}{\mu }}=\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{k}}}$

d’où

${\frac {d\Delta x_{k}}{\mu \,d\varpi _{i}}}=\mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{k}}}\cdot$

Ainsi les éléments du déterminant $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon ,0)$ seront, en les écrivant dans le même ordre que dans le Tableau (2),

$0,\quad -\varepsilon \mathrm {T} ,\quad \mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{i}\,d\varpi _{k}}},\quad -\mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}},\quad 0,\quad -\varepsilon \mathrm {T} .$

Nous avons ainsi une équation algébrique en $\varepsilon \,;$ en général, cette équation aura deux racines nulles et toutes les autres seront distinctes et différentes de 0. En appliquant le théorème du n^o 30,