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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

développable d’autre part suivant les puissances de $\mu .$ J’appellerai cette fonction $\mathrm {G(\alpha ,\mu )}$ et j’aurai pour déterminer $\alpha$ en fonction de $\mu$ l’équation

(4)

\mathrm {G} (\alpha ,\mu )=0.

Cela posé, faisons

\alpha =\varepsilon {\sqrt {\mu }}.

Divisons les $n$ premières lignes du déterminant, ainsi que les $n$ dernières colonnes par ${\sqrt {\mu }}.$ Les éléments du déterminant deviendront, en les écrivant dans le même ordre que dans le Tableau (2),

{\frac {d\,\Delta x_{k}}{{\sqrt {\mu }}\,d\beta _{i}}},\;\;{\frac {d\,\Delta x_{i}}{{\sqrt {\mu }}\,d\beta _{i}}}\!-\!{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {\mu }}},\;\;{\frac {d\,\Delta x_{k}}{\mu \,d\varpi _{i}}},\;\;{\frac {d\,\Delta y_{k}}{d\beta _{i}}},\;\;{\frac {d\,\Delta y_{k}}{{\sqrt {\mu }}\,d\varpi _{i}}},\;\;{\frac {d\,\Delta y_{i}}{{\sqrt {\mu }}\,d\varpi _{i}}}\!-\!{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {\mu }}},\;\;

et l’équation (4) devient

\mu ^{-n}\mathrm {G} \left(\varepsilon {\sqrt {\mu }},\,\mu \right)=\mathrm {G} _{1}\left(\varepsilon ,\,{\sqrt {\mu }}\right)=0.

Cherchons ce que devient cette équation pour $\mu =0$ ou, en d’autres termes, formons le déterminant $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon ,\,0).$

Pour $\mu =0,$ $\Delta x_{k}$ est nul, et $\Delta y_{k}$ ne dépend que des $\beta _{i}.$ Donc ${\frac {d\Delta x_{k}}{d\beta _{i}}},$ ${\frac {d\Delta x_{k}}{d\varpi _{i}}}$ et ${\frac {d\Delta y_{k}}{d\varpi _{i}}}$ sont divisibles par $\mu .$ On a donc