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CHAPITRE IV.

mière colonne indique le numéro de la ligne, la seconde indique le numéro de la colonne, et la troisième fait connaître l’élément correspondant du déterminant.

(2)[1]

$\left\{{\begin{array}{lllll}\quad _{\mathrm {N} ^{\circ }\;\mathrm {de} }\!\!&\!\!\!{}_{\mathrm {la} \;\mathrm {ligne.} }&\;\;\;\quad _{\mathrm {N} ^{\circ }\;\mathrm {de} }\!\!&\!\!\!{}_{\mathrm {la} \;\mathrm {colonne.} }&\!\!{}_{\mathrm {Expression} \;\mathrm {de} \;\mathrm {l'{\acute {e}}l{\acute {e}}ment} .}\\i&(i\leq n)&k&(k\leq n,\,k\lessgtr i)&{\dfrac {d\Delta x_{k}}{d\beta _{i}}}\\i&(i\leq n)&k=i&&{\dfrac {d\Delta x_{i}}{d\beta _{i}}}-\mathrm {S} \\i+n&(i>0)&k&(k\leq n)&{\dfrac {d\Delta x_{k}}{d\varpi _{i}}}\\i&(i\leq n)&k+n&(k\leq n,\,k\leq n)&{\dfrac {d\Delta y_{k}}{d\beta _{i}}}\\i+n&(i>0)&k+n&(k>0,\,k\lessgtr i)&{\dfrac {d\Delta y_{k}}{d\varpi _{i}}}\\i+n&(i>0)&k+n=&\!\!\!i+n&{\dfrac {d\Delta y_{i}}{d\varpi _{i}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right.$

En égalant à 0 le déterminant ainsi formé, on a une équation en $\mathrm {S}$ dont les racines sont

$e^{\alpha \mathrm {T} }-1,$

$\alpha$ étant un des exposants caractéristiques.

Les $\Delta x_{i}$ et les $\Delta y_{i}$ sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ des $\beta _{i}$ et des $\varpi _{i}-\varpi _{i}^{0}.$ Il en est de même des quantités

(3)

${\frac {d\Delta x_{k}}{d\beta _{i}}},\quad {\frac {d\Delta x_{k}}{d\varpi _{i}}},\quad {\frac {d\Delta y_{k}}{d\beta _{i}}},\quad {\frac {d\Delta y_{k}}{d\varpi _{i}}},$

On doit y remplacer les $\beta _{i}$ et les $\varpi _{i}$ par les valeurs qui correspondent à la solution périodique et qui sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte qu’après cette substitution les quantités (3) seront développées selon les puissances de $\mu .$

Comme, d’autre part, on a

$\mathrm {S} =e^{\alpha \mathrm {T} }-1,$

on voit que notre déterminant est une fonction entière de $\alpha ,$

1. C’est ainsi, par exemple, que le premier élément de la $k$^ième colonne sera égal à ${\frac {d\Delta x_{i}}{d\beta _{i}}}$ pourvu que $i\leq n,$ $k\leq n,$ $k\gtrless i$