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CHAPITRE IV.
et dont la période est égale à
![{\displaystyle \mathrm {T} '=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {dt}{\Phi }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd3c81115abfd5551eb81c73da6f5b94fabb99c)
On doit remplacer dans
avant l’intégration,
par ![{\displaystyle \varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55de163f61ff4222ee85ef522ff370cf59f4829b)
Pour résoudre les équations (2 bis), nous tiendrons compte de
la valeur de
et nous les écrirons
![{\displaystyle {\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\xi _{k}+\mathrm {X} _{i}\sum {\frac {{\dfrac {d\Phi }{dx_{k}}}\xi _{k}}{\Phi }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e5055b83e2b51053f6ca339b1d5ab82bf2ed90)
Posons ensuite
![{\displaystyle \xi _{i}=\eta _{i}+\mathrm {X} _{i}\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed6fed6c767113dd6469467e5be3453f95723ce)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&+\mathrm {X} _{i}{\frac {d\lambda }{dt}}+\sum \lambda {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}\\&=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\eta _{k}\!+\!\sum \lambda {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}\!+\!{\frac {\mathrm {X} _{i}}{\Phi }}\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\eta _{k}\!+\!{\frac {\mathrm {X} _{i}\lambda }{\Phi }}\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9be101c4533d788b347dcb90484f984be8e0b27)
ce qui montre qu’on peut satisfaire aux équations (2 ter) en prenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{i}&=e^{\alpha t}\psi _{i}(t)&\mathrm {et} &&\Phi {\frac {d\lambda }{dt}}&=\lambda \sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}+\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}e^{\alpha t}\psi _{k}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20539dcd7ac01f3b846a43ae136e32cb7ea00142)
On peut tirer de là
![{\displaystyle \lambda =e^{\alpha t}\theta (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81628544b188ee30d321b6b2c6c2e190ee34ca6b)
et
![{\displaystyle \xi _{i}=e^{\alpha t}\theta _{i}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e4f2b46725fe5f07d42e4f64437a8e6a6e52ce)
et les
étant périodiques en
Il faudra ensuite remplacer
par sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}=\Phi \left[\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f35cd71c0a48ae04cc3e8384eea63eaf51e9576)
On trouve ainsi
![{\displaystyle t={\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\tau +f(\tau ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d6420e13ae120065642181f8716c9c41e4d5c6)
étant une fonction périodique de
on a donc
![{\displaystyle \xi _{i}=e^{{\frac {\alpha \mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\tau }e^{\alpha f(\tau )}\,\theta _{i}\left[{\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\tau +f(\tau )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f306e2289b48e1fd5cd543cf39593ff4df6b79bb)