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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Soient

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}$

nos équations différentielles où je supposerai que le temps n’entre pas explicitement. Soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution périodique de période $\mathrm {T} .$ Soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},$

d’où les équations aux variations

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\xi _{k}.$

Soit

$\xi _{i}=e^{\alpha t}\psi _{i}(t)$

une solution de ces équations aux variations, $\psi _{i}$ étant périodique en $t.$

Changeons de variables en remplaçant le temps $t$ par une nouvelle variable $\tau$ définie par la relation

${\frac {dt}{d\tau }}=\Phi ,$

$\Phi$ étant une fonction donnée de $x_{1},$ $x_{2},,$ $\ldots ,$ $x_{n}\,;$ d’où les équations différentielles

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{d\tau }}=\mathrm {X} _{i}\Phi ,$

et les équations aux variations

(2 bis)

${\frac {d\xi _{i}}{d\tau }}=\Phi \sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\xi _{k}+\mathrm {X} _{i}\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\xi _{k}.$

Les équations (1 bis) admettent une solution périodique

$x_{i}=\varphi '_{i}(\tau ),$

correspondant à

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$