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CHAPITRE IV.
Cette expression est de la forme suivante : une exponentielle
multipliée par un polynôme entier en
dont les coefficients
sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Mais cette expression doit se réduire à une constante. Il est
clair que cela ne peut avoir lieu que de deux manières :
Ou bien si cette constante est nulle ;
Ou bien si
On peut en conclure que, s’il y a
exposants caractéristiques
égaux à
il y en aura
égaux à
ce qui confirme le
résultat obtenu au no 69. Si, en effet, il y a
exposants égaux à
il y aura
solutions de première ou de deuxième espèce
linéairement indépendantes et admettant pour exposant
Soient
ces
solutions.
Il ne pourra pas y avoir plus de
solutions
indépendantes
qui satisferont aux relations
![{\displaystyle \left(\mathrm {S} _{1},\,\mathrm {S} '\right)=\left(\mathrm {S} _{2},\,\mathrm {S} '\right)=\ldots =\left(\mathrm {S} _{q},\,\mathrm {S} '\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f22def67c02ebe738184cbc2e132132dd02fb9a)
Par conséquent, parmi les solutions fondamentales (qui sont
toutes de première ou de deuxième espèce), il y en aura
pour
lesquelles l’une des constantes
au moins ne sera pas nulle,
et, par conséquent, pour lesquelles l’exposant
sera égal à
71.Supposons maintenant que les équations (1) admettent une intégrale
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ceb4fd017991ea35c419dab9d6570a25b6711d)
D’après ce que nous avons vu au no 54, les équations (2) admettront
comme solution particulière
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}},&\eta _{i}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8537a3a13376a77d56ce7e58bb0476fa489b6699)
Appelons
cette solution, les fonctions
et
(où on devra remplacer
et
par leurs valeurs
correspondant à la solution périodique génératrice) seront des fonctions périodiques de
Donc la solution
est de première espèce et son exposant caractéristique est nul.