multipliée par une fonction périodique de Je les appellerai solutions de première espèce.
Pour d’autres, chacune des quantités et est égale à une exponentielle multipliée par un polynôme entier en dont les coefficients sont des fonctions périodiques de Je les appellerai solutions de deuxième espèce.
Les équations (2) ne peuvent admettre que solutions linéairement indépendantes. Une solution quelconque pourra donc toujours être regardée comme une combinaison linéaire de solutions que l’on peut appeler fondamentales.
Si, sur exposants caractéristiques, sont distincts, on pourra choisir comme solutions fondamentales solutions de première espèce et solutions de seconde espèce.
Soient
solutions particulières des équations (2) linéairement indépendantes et désignons par une solution quelconque.
Il ne peut y avoir plus de solutions linéairement indépendantes qui satisfassent aux conditions
| (3) |
En effet, soit
la solution conservons les lettres et pour désigner la
solution alors les relations (3) nous donnent relations linéaires
entre les et les ces relations sont distinctes si les solutions
particulières
sont linéairement indépendantes. Elles pourront donc servir à abaisser de unités l’ordre des
équations différentielles linéaires (2). Après cet abaissement, ces
équations ne conserveront plus que solutions linéairement
indépendantes.
C.Q.F.D.
Cela posé, supposons que soit une solution de première ou de deuxième espèce admettant comme exposant caractéristique et que soit une solution de première ou de deuxième espèce admettant comme exposant caractéristique Formons l’expression
