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CHAPITRE IV.
D’après ce que nous avons vu au no 58, nous pouvons toujours
supposer que
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4340148dc1271c187facd9c78e74cc3c0e3925bf)
pour
![{\displaystyle i<k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4980f46c0d1d5c1876637d58890af2c136a0e1)
D’autre part, tous les mineurs du déterminant obtenu en supprimant
la dernière colonne de la matrice (1) devant être nuls,
l’équation en
correspondante aura deux racines nulles : je puis
donc supposer
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{4}}{d\beta _{3}}}={\frac {d\psi _{4}}{d\beta _{4}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a96c4ebddfd5fddcdb0a4f626b0ef34b8f595c2)
Je me propose de démontrer que l’équation en
a une troisième
racine nulle et, par conséquent, que l’on a
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fed67fbef2947f8269676bd7843066a6edabd1)
ou
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56d497bc59d0cb5aa1133020ac0147f2af51c89)
En effet, d’après la définition même des
on a
si l’on fait
![{\displaystyle \beta _{k}=\varphi _{k}(h)-\varphi _{k}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cb3da6ceb9d8d5e04e4ddc203f2b3f1ce162f4)
étant une constante quelconque ; d’où en différentiant par rapport
à
et faisant ensuite ![{\displaystyle h=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844f1d2d40bc56ebeaac825e41d1fa9522980352)
![{\displaystyle \sum {\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}\varphi '_{k}(0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16a53e741f37b219b9edee156ac6fb9fe282f67)
Mais
![{\displaystyle \varphi '_{k}(0)={\frac {d\psi _{k}}{d\tau }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec19cfc067f0aa2956bec40a3c7740a3e334f0c)
donc on a
(2)
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En faisant
il vient
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}{\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052f762ee9e6000b018214eee3562bd892643918)