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CHAPITRE IV.

En effet, on a identiquement (puisque $\mathrm {F}$ est une intégrale des équations différentielles)

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\mathrm {X} _{n}=0.$

En différentiant cette identité par rapport à $x_{i},$ il vient

$\sum _{k=1}^{k=n}\left({\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\right)=0$

ou, en vertu des équations (3),

$\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}=0.$
C.Q.F.D.

Ainsi, si les équations différentielles admettent une intégrale uniforme, l’un des exposants caractéristiques d’une solution périodique quelconque sera nul, à moins que toutes les dérivées partielles de l’intégrale ne s’annulent en tous les points de cette solution périodique. Cette dernière circonstance ne pourra se présenter qu’exceptionnellement.

65.Supposons encore que les équations différentielles (1) contiennent le temps explicitement et soient, par rapport à cette variable, des fonctions périodiques de période $2\pi .$

Je dis que si les équations différentielles admettent deux intégrales uniformes, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1},$ deux des exposants caractéristiques seront nuls.

On trouvera, en effet, comme dans le numéro précédent,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}&=0,\\{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots {\dfrac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}&=0\\\end{aligned}}\right.$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

$\left[\,x_{1}=\varphi _{1}(0),\quad x_{2}=\varphi _{2}(0),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(0)\,\right].$

Nous pouvons en conclure que, non seulement le déterminant fonc-