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CHAPITRE I.

GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

Généralités.

1.Avant d’aborder mon sujet principal, je suis obligé d’entrer dans certains détails préliminaires et de rappeler succinctement les principes fondamentaux des Vorlesungen über Dynamik de Jacobi et la théorie de Cauchy, relative à l’intégration des équations différentielles par les séries. Je vais donc consacrer ce premier Chapitre à l’exposition de la méthode de Jacobi, en me contentant le plus souvent d’énoncer des résultats dont la démonstration est bien connue.

Donnons d’abord quelques explications au sujet des notations et des dénominations qui seront employées dans tout ce Mémoire.

Les équations différentielles auxquelles nous aurons affaire seront de la forme suivante

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\mathrm {X} _{1},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&=\mathrm {X} _{2},&&\dots ,&{\frac {dx_{n}}{dt}}&=\mathrm {X} _{n},\end{aligned}}$

$\mathrm {X} _{1},\,\mathrm {X} _{2},\,\dots ,\,\mathrm {X} _{n}$ étant des fonctions analytiques et uniformes des $n$ variables $x_{1},$ $x_{2},\,\dots ,$ $x_{n}$. Quant à la variable indépendante $t$, que nous considérerons comme représentant le temps, nous supposerons le plus souvent qu’elle n’entre pas explicitement dans les fonctions $\mathrm {X}$.

Le système (1) peut être considéré comme d’ordre $n$, puisqu’il équivaut à une équation différentielle unique d’ordre $n$ ; mais, si les fonctions $\mathrm {X}$ sont indépendantes de $t$, cet ordre peut être abaissé d’une unité. Il suffit pour cela d’éliminer le temps et d’écrire les équations (1) sous la forme

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\dots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}\cdot$