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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

On peut le regarder comme le tableau des coefficients d’une substitution linéaire $\mathrm {T} .$

Si l’on fait subir aux $x$ un changement linéaire de variables, les $\beta$ et les $\psi$ subiront ce même changement linéaire, et la substitution linéaire $\mathrm {T}$ se changera dans la substitution transformée au sens du numéro précédent.

Nous pourrons donc choisir le changement linéaire de variables subi par les $x,$ les $\beta$ et les $\psi$ de façon à simplifier autant que possible le tableau des coefficients de $\mathrm {T,}$ ainsi qu’il a été expliqué plus haut. Nous pouvons donc toujours supposer que l’on a fait un changement linéaire de variables tel que

(1)

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}=0$

toutes les fois que $i<k.$

Dans ce cas les racines de l’équation en $\mathrm {S}$ relative à la substitution $\mathrm {T}$ sont

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}},\quad {\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}},\quad \dots ,\quad {\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}},$

On peut d’ailleurs choisir le changement de variables que subissent les $x,$ les $\beta$ et les $\psi$ de façon que ces racines de l’équation en $\mathrm {S}$ se présentent dans tel ordre que l’on veut. Si, par exemple, l’équation en $\mathrm {S}$ a deux racines nulles, on peut choisir ce changement de variables de telle façon que,

${\frac {d\psi _{n-1}}{d\beta _{n-1}}}={\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}=0.$

Si l’équation en $\mathrm {S}$ n’a qu’une racine égale a ${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}},$ on pourra encore choisir le changement de variables, de telle sorte que l’on ait en outre

(2)

${\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}={\frac {d\psi _{3}}{d\beta _{1}}}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}=0.$

Supposons donc que l’équation en $\mathrm {S}$ ait une racine nulle et une seule ; nous pourrons d’après ce qui précède supposer que cette racine nulle est ${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}},$ de sorte que

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}=0,$