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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

mouvement du centre de gravité

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,m_{i}x_{1i}&=t\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,y_{1i}+\mathrm {const.} ,\\{\textstyle \sum }\,y_{1i}t&=\mathrm {const.} \\\end{aligned}}$

Si l’on fait tourner la solution (4) d’un angle $\omega$ autour de l’axe des $z,$ on obtient une autre solution

${\begin{aligned}x_{1i}&=\varphi _{1i}\cos \omega -\varphi _{2i}\sin \omega ,&{\frac {y_{1i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{1i}\cos \omega -\varphi '_{2i}\sin \omega ,\\[1ex]x_{2i}&=\varphi _{1i}\sin \omega +\varphi _{2i}\cos \omega ,&{\frac {y_{2i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{1i}\sin \omega +\varphi '_{2i}\cos \omega ,\\[1ex]x_{3i}&=\varphi _{3i},\quad &{\frac {y_{3i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{3i}.\end{aligned}}$

En regardant $\omega$ comme infiniment petit, on trouve comme solution de (2′)

${\begin{aligned}\xi _{1i}&=-x_{2i},&\eta _{1i}&=-y_{2i},\\\xi _{2i}&=\;\;\;x_{1i},&\eta _{1i}&=\;\;\;y_{1i},\\\xi _{3i}&=\;\;\;0,&\eta _{3i}&=\;\;\;0,\end{aligned}}$

d’où l’intégrale de (2′)

${\textstyle \sum }_{i}\left(x_{1i}\eta _{2i}-y_{1i}\xi _{2i}-x_{2i}\eta _{1i}+y_{2i}\xi _{1i}\right)=\mathrm {const.,}$

que l’on pouvait obtenir aussi en différentiant l’intégrale des aires de (1′)

${\textstyle \sum }\left(x_{1i}y_{2i}-x_{2i}y_{1i}\right)=\mathrm {const.}$

Supposons maintenant que la fonction $\mathrm {V}$ soit homogène et de degré $-1$ par rapport aux $x,$ ce qui est le cas de la nature.

Les équations (1′) ne changeront pas quand on multipliera $t$ par $\lambda ^{3},$ les $x$ par $\lambda ^{2}$ et les $y$ par $\lambda ^{-1},$ $\lambda$ étant une constante quelconque. De la solution (4) on déduira donc la solution suivante :

${\begin{aligned}x_{ki}&=\lambda ^{2}\varphi _{ki}\left({\frac {t}{\lambda ^{3}}}\right),&y_{ki}&=\lambda ^{-1}m_{i}\varphi '_{ki}\left({\frac {t}{\lambda ^{3}}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Si l’on regarde $\lambda$ comme très voisin de l’unité, on obtiendra comme solution des équations (2′)

${\begin{aligned}\xi _{ki}&=2\varphi _{ki}-3t\varphi '_{ki},&\eta _{ki}&=-m_{i}\varphi '_{ki}-3m_{i}t\varphi '_{ki}\end{aligned}}$

ou

(5)

${\begin{aligned}\xi _{ki}&=2x_{ki}-3t{\frac {y_{ki}}{m_{i}}},&\eta _{ki}&=-y_{ki}-3t{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}},\end{aligned}}$