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EXPOSANTS CARACTERISTIQUES.
et faisons la somme de toutes ces équations, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sideset {}{_{i}}\sum \left(\eta '_{i}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}-\xi '_{i}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}-\eta _{i}{\frac {d\xi '_{i}}{dt}}+\xi _{i}{\frac {d\eta '_{i}}{dt}}\right)\\&=\;\;\;\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left(\xi _{k}\eta '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{k}\eta '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\!+\!\xi _{k}\xi '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{k}\xi '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\right)\\&\;\;\;-\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left(\eta _{i}\xi '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{i}\eta '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\!+\!\xi _{i}\xi '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\xi _{i}\eta '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd026c2dab38a460608c5ccf20b2f9eb47a0fd5f)
ou
![{\displaystyle \sum {\frac {d}{dt}}\left[\eta '_{i}\xi _{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa14c7d1425a85a9c28c8f95671d174a584e8a34)
ou enfin
(3)
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Voilà une relation qui lie entre elles deux solutions quelconques
des équations linéaires (2).
Il est aisé de trouver d’autres relations analogues.
Considérons quatre solutions des équations (2)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i},\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4624868967b6c39a0d829eae231330f65e22c63e)
Considérons ensuite la somme des déterminants
![{\displaystyle \sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left|{\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i}\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}\\\xi _{k},&\xi '_{k},&\xi ''_{k},&\xi '''_{k}\\\eta _{k},&\eta '_{k},&\eta ''_{k},&\eta '''_{k}\end{array}}\right|,\qquad \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8de0944f39d5d562a29bfba5fa85739a4f41859)
où les indices
et
varient depuis 1 jusqu’à
On vérifierait sans
peine que cette somme est encore une constante.
Plus généralement, si l’on forme à l’aide de
solutions des
équations (2) la somme de déterminants
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\sum _{a_{1}\,a_{2}\,\ldots \,a_{p}}\left|\xi _{a_{1}}\eta _{a_{1}}\xi _{a_{2}}\eta _{a_{2}}\ldots \xi _{a_{p}}\eta _{a_{p}}\right|\\\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{p}=1,\,2,\,\ldots ,\,n\right),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e336b6f2011670e165280b6715b477ec50329b)
cette somme sera une constante.
En particulier, le déterminant formé par les valeurs des
quantités
et
dans
solutions des équations (2) sera une
constante.
Ces considérations permettent de trouver une solution des équa-