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CHAPITRE III.

Pour cela commençons par supposer que l’unité de longueur ait été choisie de telle sorte que

${\frac {\mu }{3n^{2}}}=1,\qquad \mu =3n^{2}.$

et que l’unité de temps ait été choisie de telle sorte que

$n=1+\alpha ,$

$\alpha$ étant un paramètre très petit.

Si nous posons $\xi =1+x,$ le système (1) peut être remplacé par le suivant, qui est analogue au système (1) du numéro précédent.

${\begin{alignedat}{6}{\frac {dx}{dt}}&=x'&{\frac {dx'}{dt}}&=&&2(1+\alpha )\eta '&{}+{}&3(1+\alpha )^{2}(x+1)\left({\frac {1}{r^{3}}}-1\right),\\{\frac {d\eta }{dt}}&=\eta '&\qquad {\frac {d\eta '}{dt}}&=-&&2(1+\alpha )x'&{}+{}&3(1+\alpha )^{2}{\frac {\eta }{r^{3}}}\cdot \end{alignedat}}$

Si nous formons ensuite l’équation en $\mathrm {S}$ du numéro précédent il vient

$\mathrm {S} ^{4}-2\mathrm {S} ^{2}-27=0.$

Cette équation admet deux racines réelles et deux racines imaginaires

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{1}&=\;\;\;{\sqrt {-1}}{\sqrt {{\sqrt {28}}-1}}.\\\mathrm {S} _{2}&=-{\sqrt {-1}}{\sqrt {{\sqrt {28}}-1}}.\\\end{aligned}}$

Si alors nous prenons

$\mathrm {T} ={\frac {2\pi }{\sqrt {{\sqrt {28}}-1}}},$

il vient

$e^{\mathrm {S} _{1}\mathrm {T} }=e^{\mathrm {S} _{2}\mathrm {T} }=1.$

Le déterminant $\Delta$ du numéro précédent est donc nul.

On peut donc former des séries ordonnées suivant les puissances fractionnaires de $\mu$ (ici ces séries seraient ordonnées suivant les puissances entières de ${\sqrt {\mu }}$) et qui, substituées à la place des $\beta _{i}$ satisfont aux équations (2) du numéro précédent. On vérifierait (et j’y reviendrai plus loin) que les coefficients de ces séries sont réels.

Les équations (1) de M. Hill admettent donc des solutions pério-