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SOLUTIONS PERIODIQUES.
Soit
(1)
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un système d’équations différentielles. Je suppose que les
sont
développables suivant les puissances croissantes de
et d’un paramètre ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Je suppose de plus que pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07f3c161287cb08a3d97d5ad0941df51ebfbc3b)
on ait à la fois (et quel que soit
)
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}=\mathrm {X} _{2}=\dots =\mathrm {X} _{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddbe1fe38a2654ad1e114bd4f7803f0fac17a94)
Alors le système (1) admettra comme solution particulière
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0,&x_{2}&=0,&&\dots ,&x_{n}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def3d544274db0ecf224c234940d75451ee3f6fa)
et comme les valeurs de
sont constantes, cette
solution pourra être regardée comme une solution périodique de
période quelconque.
Je me propose d’étudier les solutions périodiques qui en diffèrent fort peu.
Soient
les valeurs initiales de
soient
les valeurs de ces mêmes variables pour
On peut développer
suivant les puissances de
et
Considérons l’équation suivante en
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{dx_{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{dx_{2}}}&\dots &{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{dx_{n}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{dx_{2}}}-\mathrm {S} &\dots &{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{dx_{n}}}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\mathrm {X} _{n}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{n}}{dx_{2}}}&\dots &{\dfrac {d\mathrm {X} _{n}}{dx_{n}}}-\mathrm {S} \\\end{array}}\right|=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb942a8ef8d9e440f9653f6cd2d28e3b73c61ce2)
où l’on suppose qu’on ait fait
![{\displaystyle \mu =x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214c26599885ed993d2dd170e510610358e07b1a)