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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
linéaire à coefficients entiers
![{\displaystyle \alpha n+\beta n'+\gamma n''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254bb154b7e4149808499e9c4295b8b6832d0ef0)
étant trois entiers, premiers entre eux, tels que
![{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76394a1fd3a92c33d8637757ea901ce0951e3c64)
on pourra trouver alors trois entiers
et
tels que
![{\displaystyle \alpha \lambda +\beta \lambda '+\gamma \lambda ''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aed44f42619633375149ce085f4cccd3c5ae967)
et on aura
![{\displaystyle n=\lambda \mathrm {A} +\mathrm {B} ,\quad n'=\lambda '\mathrm {A} +\mathrm {B} ,\quad n''=\lambda ''\mathrm {A} +\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243364302a42b6105bf76049f050ae418e0683c1)
et
étant des quantités quelconques.
Au bout d’un temps
les longitudes des trois corps auront
augmenté de
![{\displaystyle \lambda \mathrm {AT} +\mathrm {BT} ,\quad \lambda '\mathrm {AT} +\mathrm {BT} ,\quad \lambda ''\mathrm {AT} +\mathrm {BT} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49a4f56bb35642619e53edc4d20371376c832f9)
et les différences de longitude du second et du troisième satellite
avec le premier auront augmenté de
![{\displaystyle (\lambda -\lambda ')\mathrm {AT} ,\quad (\lambda -\lambda '')\mathrm {AT} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4521880c3159d6a813544c04d45cb4bbde4601c)
Si donc on choisit
de telle sorte que
soit multiple de
les angles formés par les rayons vecteurs menés du corps central
aux trois satellites auront repris leur valeur primitive. Ainsi la
solution considérée pour
est périodique de période
Le problème comportera-t-il encore une solution périodique de
période
quand on tiendra compte des actions mutuelles des trois
petits corps, et que leur mouvement ne sera plus képlérien, ou
en d’autres termes quand on donnera au paramètre
non plus la
valeur 0, mais une valeur très petite ?
Une analyse toute semblable à celle du no 40 prouve qu’il en
est effectivement ainsi ; il y a une solution périodique de période
analogue aux solutions de la première sorte et où les orbites sont
presque circulaires. Les trois petits corps sont, tant au début
qu’au milieu de chaque période, en conjonction ou en opposition
symétrique.