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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

De plus on devra avoir, ainsi que je l’ai dit plus haut,

$n\gamma _{1}+n'\gamma _{2}=0$

et, d’autre part,

$|\gamma _{1}+\gamma _{2}|<\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4},$

${\begin{aligned}\alpha _{1}&>|\gamma _{1}+\gamma _{2}|,\qquad &\alpha _{2}&>|\gamma _{3}+\gamma _{4}|.\end{aligned}}$

Je dis que les termes de $\mathrm {R} ,$ pour lesquels $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ ne seront pas nuls à la fois, seront du troisième degré au moins par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, à moins que $n$ ne soit multiple de ${\frac {n-n'}{2}}\cdot$

En effet, soient deux nombres entiers $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ qui peuvent être positifs ou négatifs, mais qui ne sont pas nuls à la fois et qui satisfont aux égalités

$n\gamma _{1}+n'\gamma _{2}=0,\qquad |\gamma _{1}+\gamma _{2}|=0,\;1\;\mathrm {ou} \;2.$

Si nous posons

$\gamma _{1}+\gamma _{2}=\varepsilon ,\qquad \varepsilon =0\pm 1\;\mathrm {ou} \;\pm 2,$

il viendra

$\gamma _{1}=\varepsilon {\frac {n'}{n'-n}},\qquad \gamma _{2}=\varepsilon {\frac {n}{n-n'}}\cdot$

Je vois d’abord que $\varepsilon$ ne peut être nul, sans quoi $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ seraient nuls à la fois. Comme, d’autre part, $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ doivent être entiers, et que $\varepsilon$ est égal à $\pm 1$ ou à $\pm 2,$ le nombre ${\frac {2n}{n-n'}}$ devrait être entier, ce qui veut dire que $n$ devrait être multiple de ${\frac {n-n'}{2}}\cdot$ C’est ce que nous ne supposerons pas.

Donc, pour calculer $\mathrm {R}$ jusqu’aux termes du deuxième ordre inclusivement, il suffit de faire, dans $\mathrm {F} _{1},$ $\gamma _{1}=\gamma _{2}=0,$ c’est-à-dire de ne conserver dans $\mathrm {F} _{1}$ que les termes dits séculaires.

Or le calcul de ces termes a été fait depuis longtemps par les fondateurs de la Mécanique céleste. Je me bornerai donc à renvoyer par exemple à la Mécanique céleste de M. Tisserand (t. I, p. 406). On trouve alors

$\mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(0)}+{\frac {1}{8}}\mathrm {B} ^{(1)}[e^{2}+e'^{2}-(i-i')^{2}]-{\frac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(2)}ee'\cos(g_{0}-g'_{0})+\Omega .$

Les coefficients $\mathrm {A} ^{(0)},$ $\mathrm {B} ^{(1)}$ et $\mathrm {B} ^{(2)}$ qui ne dépendent que de $\mathrm {L} _{0}$ et