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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Les solutions de la troisième sorte que nous étudions ici comprennent, comme cas particulier, les solutions de la deuxième sorte dont nous avons démontré plus haut l’existence.

On peut se demander s’il en existe d’autres ; c’est ce qu’un examen plus approfondi va nous apprendre. Nous verrons que la fonction $\mathrm {R}$ a d’autres maxima et minima que ceux qui se produisent quand les inclinaisons sont nulles, et par conséquent qu’il existe des solutions de la troisième sorte distinctes de celles de la deuxième sorte.

À cet effet, examinons de plus près la forme de la fonction $\mathrm {R} .$ Nous avons à satisfaire, d’une part, aux relations

(4)

${\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dg_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dg'_{0}}}=0\,;$

d’autre part, aux relations

(5)

${\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} _{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} '_{0}}}=0.$

Je dis qu’on satisfera aux conditions (4) en faisant

$l'_{0}=g_{0}=g'_{0}=0\,;$

de sorte qu’on n’aura plus qu’à satisfaire aux équations (5), c’est-à-dire à rechercher les maxima et minima de $\mathrm {R}$ considérée comme fonction de $\mathrm {H} _{0}$ et $\mathrm {H} '_{0}$ seulement.

J’observe, en effet, que $\mathrm {R}$ est de la forme suivante (si l’on suppose, comme nous le faisons, $l'_{0}=0,$ $\theta =\theta '$),

$\mathrm {R} ={\textstyle \sum }\mathrm {A} \,\cos(\gamma _{1}l'_{0}+\gamma _{2}g_{0}+\gamma _{3}g'_{0}),$

$\mathrm {A}$ dépendant de $\Lambda _{0},$ $\Lambda '_{0},$ $\mathrm {H} _{0},$ $\mathrm {H} '_{0},.$

Si donc on suppose

$l'_{0}=g_{0}=g'_{0}=0,$

on aura à la fois

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial l'_{0}}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial g_{0}}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial g'_{0}}}=0.$

Imaginons que l’on change de variables en prenant pour variables nouvelles les excentricités $e$ et $e',$ et les inclinaisons $i$ et $i',$ c’est--