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CHAPITRE III.

Une difficulté peut néanmoins se présenter, comme dans le numéro précédent. Ne peut-il pas se faire que la fonction $\mathrm {R}$ atteigne son maximum au moment où les variables $\mathrm {H} _{0}$ et $\mathrm {H} '_{0}$ atteignent les limites qui leur sont assignées par les inégalités (3) ? Qu’arrive-t-il alors ?

Supposons d’abord que le maximum soit atteint pour

$\mathrm {H} _{0}=\Lambda _{0}.$

Nous adopterons alors les variables du n^o 18, c’est-à-dire

${\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ^{\star },&\mathrm {H} '\\\lambda ^{\star },&l',&\eta ^{\star },&g'.\\\end{array}}$

Nous poserons, en conséquence,

${\begin{aligned}\lambda _{0}^{\star }&=l_{0}\!+\!g_{0},&\xi _{0}^{\star }&={\sqrt {2(\Lambda _{0}\!-\!\mathrm {H} _{0})}}\cos g_{0},&\eta _{0}^{\star }&={\sqrt {2(\Lambda _{0}\!-\!\mathrm {H} _{0})}}\sin g_{0}.\end{aligned}}$

Nous verrons alors que $\mathrm {R}$ atteint son maximum pour

$\xi _{0}^{\star }=\eta _{0}^{\star }=0,$

et, comme $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances de $\xi _{0}^{\star }$ et $\eta _{0}^{\star },$ la difficulté sera levée.

Si donc le maximum est atteint pour $\mathrm {H} _{0}=\Lambda _{0},$ il n’en sera pas moins vrai qu’une solution périodique correspondra à ce maximum ; il en sera encore de même pour la même raison si le maximum est atteint pour $\mathrm {H} '_{0}=\Lambda '_{0}.$

Il reste à examiner le cas où le maximum serait atteint pour des valeurs de $\mathrm {H} _{0}$ et $\mathrm {H} '_{0},$ satisfaisant à la condition

$\mathrm {C} =\pm \mathrm {H} _{0}\pm \mathrm {H} '_{0}\,;$

mais ce cas est celui où les inclinaisons sont nulles ; si donc le maximum est atteint pour de pareilles valeurs de $\mathrm {H} _{0}$ et $\mathrm {H} '_{0},$ on retombe sur le cas des solutions de la deuxième sorte étudié dans le numéro précédent. À un pareil maximum correspond donc encore une solution périodique.

En résumé, nous avons démontré que la fonction $\mathrm {R}$ admet toujours au moins un maximum et un minimum et qu’à chacun de ces maxima et de ces minima correspond une solution périodique ; une difficulté subsiste encore cependant.