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CHAPITRE III.
Pour cela, nous l’avons vu, il suffit de choisir
![{\displaystyle \lambda _{0}^{\star },\quad \xi _{0}^{\star }\quad \mathrm {et} \quad \eta _{0}^{\star },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8e4051217c461c7d1a1ce77c0985d09414acf7)
de telle façon que
soit maximum ou minimum ; nous savons
d’autre part que
et
doivent être regardés comme des données
et que l’on peut toujours supposer que
est nul. Si
atteint son
maximum pour
avec les nouvelles variables, ce maximum
sera atteint pour
![{\displaystyle \xi _{0}^{\star }=\eta _{0}^{\star }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94079f271729c94445ab9118775d0a4669cbe5a)
Mais cette fois il n’y a plus de difficulté, parce que
est une fonction
holomorphe de
et de
développable suivant les puissances
de ces variables, tandis que la difficulté provenait avec les anciennes
variables de ce que
cesse d’être une fonction holomorphe de
pour
et est développable, non pas suivant les puissances
entières de
mais suivant celles de ![{\displaystyle {\sqrt {\Lambda _{0}-\mathrm {H} _{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6a3f4929f58666e4e699b8c4755d3e1ddacc13)
Les résultats du présent numéro subsisteraient donc alors même
que la fonction
atteindrait son maximum pour
ou plus généralement quand
atteint l’une des limites qui lui sont assignées
par les inégalités (3).
Solution de la troisième sorte.
48.Cherchons maintenant à déterminer les solutions périodiques
de la troisième sorte, c’est-à-dire celles pour lesquelles
les inclinaisons ne sont pas nulles.
Adoptons les variables du no 16, c’est-à-dire
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\beta \mathrm {L} =\Lambda ,&\beta '\mathrm {L'} =\Lambda ',&\beta \Gamma =\mathrm {H} ,&\beta '\Gamma '=\mathrm {H} ',\\l,&l',&g,&g'.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc5933445fa309122403ae93630fca1618b7682)
Supposons d’abord
et soient
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\Lambda _{0},&\Lambda '_{0},&\mathrm {H} _{0},&\mathrm {H} '_{0},\\l_{0},&l'_{0},&g_{0},&g'_{0}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9d0aca5311577e8f2e6fc281c62d0df45ad799)
les valeurs initiales de ces huit variables. Si
et
sont choisis