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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

symétriques au commencement et au milieu de chaque période.

Une difficulté pourrait toutefois se présenter et je suis obligé d’en dire quelques mots.

La fonction $\mathrm {R}$ dépend de $l'_{0},$ $h_{0},$ $\mathrm {H} _{0},$ puisque nous considérons $\Lambda _{0}$ et $\Lambda '_{0}$ comme donnés et que nous choisissons $l_{0}$ nul.

La fonction $\mathrm {R}$ est périodique en $l'_{0}$ et en $h_{0}\,;$ de plus, la troisième variable $\mathrm {H} _{0}$ est soumise à certaines inégalités, par exemple à la suivante

$\Lambda _{0}>\mathrm {H} _{0}.$

Nous en avons conclu que la fonction $\mathrm {R}$ admet toujours un maximum et un minimum.

Mais on peut se demander ce qui arriverait si ce maximum était précisément atteint quand $\mathrm {H} _{0}$ atteint une des limites qui lui sont assignées par les inégalités (3).

Les conclusions du n^o 46 seraient-elles encore applicables ?

On pourrait en douter, car, si $\mathrm {R}$ atteint son maximum pour $\mathrm {H} _{0}=\Lambda _{0}$ par exemple, la dérivée ${\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} _{0}}}$ n’est pas nulle, elle est au contraire infinie.

Il est vrai que, pour le problème des trois Corps, on pourrait vérifier sans peine que le maximum de $\mathrm {R}$ n’a pas lieu pour cette valeur de $\mathrm {H} _{0}\,;$ mais, comme ce cas pourrait se présenter avec d’autres forces perturbatrices que celles que l’on envisage dans le problème des trois Corps, il n’est pas sans intérêt de l’examiner de plus près.

Supposons, par exemple, que l’on considère les valeurs de $\mathrm {H} _{0}$ très voisines de $\Lambda _{0},$ nous pourrons adopter les variables du n^o 17, c’est-à-dire les variables

${\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ^{\star },\\\lambda ^{\star },&l',&\eta ^{\star }\cdot \\\end{array}}$

Appelons alors

${\begin{array}{ccc}\Lambda _{0}+\beta _{1},&\Lambda '_{0}+\beta _{2},&\xi _{0}^{\star }+\beta _{3},\\\lambda _{0}^{\star }+\beta _{4},&l'_{0}+\beta _{5},&\eta _{0}^{\star }+\beta _{6}\\\end{array}}$

les valeurs initiales de ces six variables et cherchons si l’on peut choisir ces valeurs initiales de telle façon que la solution soit périodique, les $\beta _{i}$ seront des fonctions de $\mu$ qui devront s’annuler avec $\mu .$