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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
la sommation étant étendue à tous les termes, tels que
![{\displaystyle \alpha =0,\quad \mathrm {ou} \quad m_{1}n+m_{2}n'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a046227a135db06792b2222877ca1788eb3c115)
D’après les principes du numéro précédent, on trouvera les valeurs
cherchées de
et
en résolvant le système
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} _{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dl_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dh_{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcedcb5b547f82dbf05f013f4c8aa9f4450077c)
Nous pouvons toujours supposer que l’origine du temps ait été
choisie de telle sorte que ![{\displaystyle l_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92e8378c78c16d8d07e7661c765f1507020549c)
D’autre part, d’après la définition de la fonction
on a
![{\displaystyle n{\frac {d\mathrm {R} }{dl_{0}}}+n'{\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1035b8fd02c57558b095b849caf3cb14f5365c8)
On peut donc remplacer le système précédent par le système plus simple
(1)
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Il pourrait arriver que toutes les solutions du système (1) ne
conviennent pas ; mais il y a des solutions qui conviendront
certainement : ce sont celles dont l’ordre de multiplicité est impair, et
en particulier celles qui correspondent à un maximum ou à un
minimum véritable de
Pour établir l’existence des solutions de la deuxième sorte, il me
suffit donc de montrer que la fonction
a un maximum.
Or cette fonction
est essentiellement finie ; de plus elle est
périodique en
et
elle dépend encore de
j’ajouterai qu’elle est développable suivant les puissances de
(2)
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étant la constante des aires.
La fonction
ne sera donc réelle que si l’on a
(3)
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et
devra toujours être compris entre ces deux limites. Je puis