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CHAPITRE III.

Si, de plus, on pose

${\begin{aligned}n&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{0}}},&n'&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda '_{0}}},\end{aligned}}$

on aura

$l=nt+l_{0},\qquad l'=n't+l'_{0}.$

Donc, pour $\mu =0,$ si $\Lambda _{0}$ et $\Lambda '_{0}$ ont été choisis de telle sorte que $n\mathrm {T}$ et $n'\mathrm {T}$ soient multiples de $2\pi ,$ la solution sera périodique de période $2\pi ,$ quelles que soient d’ailleurs les constantes $\mathrm {H} _{0},$ $l_{0},$ $l'_{0},$ $h_{0}.$

Voici la question que nous posons :

Est-il possible de choisir les constantes $\mathrm {H} _{0},$ $l_{0},$ $l'_{0}$ et $h_{0}$ de telle sorte que, pour les petites valeurs de $\mu ,$ les équations du mouvement admettent une solution périodique de période $\mathrm {T}$ et qui soit telle que les valeurs initiales des six variables soient respectivement

${\begin{array}{ccc}\Lambda _{0}+\beta _{1},&\Lambda '_{0}+\beta _{2},&\mathrm {H} _{0}+\beta _{3},\\l_{0}+\beta _{4},&l'_{0}+\beta _{5},&h_{0}+\beta _{6},\end{array}}$

les $\beta _{i}$ étant des fonctions de $\mu$ s’annulant avec $\mu .$

Pour résoudre cette question, il suffit d’appliquer les principes du numéro précédent.

$\mathrm {F} _{1}$ étant périodique en $l,$ $l'$ et $h,$ nous pouvons écrire

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos(m_{1}l+m_{2}l'+m_{3}h+k),$

$\mathrm {A}$ et $k$ étant des fonctions de $\Lambda ,$ $\Lambda '$ et $\mathrm {H.}$

Remplaçons dans $\mathrm {F} _{1}$ les six variables

${\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {H} ,\\l,&l',&h\\\end{array}}$

par

${\begin{array}{ccc}\Lambda _{0},&\Lambda '_{0},&\mathrm {H} _{0},\\l_{0}+nt,&l'_{0}+n't&h_{0},\end{array}}$

il viendra

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos(\alpha t+\beta ),$

où

${\begin{aligned}\alpha &=m_{1}n+m_{2}n',&\beta &=k+m_{1}l_{0}+m_{2}l'_{0}+m_{3}h_{0}.\end{aligned}}$

$\mathrm {F} _{1}$ est une fonction périodique de $t\,;$ soit $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de cette fonction, de sorte que

$\mathrm {R} ={\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos \beta ,$