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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Je me propose :

i^o De déterminer

$x_{3}^{0},\quad x_{4}^{0},\quad \varpi _{2},\quad \varpi _{3}\quad \mathrm {et} \quad \varpi _{4}$

($x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}$ sont déjà supposés déterminés et $\varpi _{1}$ est supposé nul), de façon que les équations (4) soient satisfaites pour

$\mu =0,\qquad \beta _{i}=0,\qquad \beta '_{i}=0\,;$

2^o De rechercher si le déterminant fonctionnel des premiers membres du système (4) est nul, ou, en d’autres termes, si pour $\mu =0$ la solution

$\beta _{i}=0,\qquad \beta '_{i}=0$

est une solution simple de ce système, ou pour le moins une solution d’ordre impair.

Pour cela, il faut que nous recherchions ce que deviennent les équations (4) pour $\mu =0.$

Nous avons

$\psi _{2}=\int _{0}^{\mathrm {T} }dx_{2}=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}\,dt$

ou, puisque ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{2}}}=0,$

${\frac {\psi _{2}}{\mu }}=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d}{dy_{2}}}\left({\frac {\mathrm {F} -\mathrm {F} _{0}}{\mu }}\right)dt,$

ou, pour $\mu =0,$

(5)

${\frac {\psi _{2}}{\mu }}=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{2}}}\,dt\,;$

pour $\mu =0,$ on a

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\beta _{i},&y_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}+\beta '_{i},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}n_{i}&=-{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}\left(x_{1}^{0}+\beta _{1},\,x_{2}^{0}+\beta _{2}\right)}{d\left(x_{i}^{0}+\beta _{i}\right)}},&n_{3}&=n_{4}=0.\end{aligned}}$

Substituons ces valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans le second membre de l’équation (5).

Si nous faisons de plus $\beta _{1}=\beta _{2}=0,$ $n_{1}$ et $n_{2}$ se réduisent à $n_{1}^{0}$