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CHAPITRE III.
Si
et
ont été choisis de telle sorte que
et
soient
multiples de
la solution sera périodique de période
et cela
quelles que soient les valeurs initiales
et
Considérons maintenant une solution quelconque pour une
valeur quelconque de
et soient
(2)
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les valeurs initiales des
et des
pour
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\beta _{i}+\psi _{i},&y_{i}&=n_{i}^{0}\mathrm {T} +\beta '_{i}+\psi '_{i}+\varpi _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3374751a486e266dcac5d42f0d30f276eabce63e)
les valeurs des des
et des
pour ![{\displaystyle t=\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c328f12388850699a6eaac37be72b4ee78565d)
Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que l’on ait
(3)
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Je remarquerai :
1o Que je puis toujours choisir l’origine du temps de telle façon
que la valeur initiale de
soit nulle, aussi bien pour la solution
périodique (1) que pour la solution qui correspond aux valeurs
initiales (2). On aura donc
![{\displaystyle \varpi _{1}=\beta '_{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c103b8a78bab63cc2ecfd33bb93709c81d82968)
2o Que
est une intégrale de nos équations différentielles
et que
n’est pas nul
est égal à
Les équations (3) ne
sont donc pas distinctes et je puis supprimer la première d’entre elles,
![{\displaystyle \psi _{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d335baf74e4789ebbd7fbd1e0cda5449263d91e)
3o Que pour
on a identiquement
![{\displaystyle \psi _{2}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi '_{3}=\psi '_{4}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab079434c6ed7e86f84a37736ee80f48424f733)
que par conséquent
sont divisibles par
Je puis donc remplacer le système (3) par le suivant :
(4)
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