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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

sances croissantes de $y,$ et que l’on a

$f=f_{0}+f_{1}y+f_{2}y^{2}+\dots ,$

$f_{0},\,f_{1},\,f_{2},\,\dots$ étant des fonctions de $x$ que je supposerai périodiques et de période $2\pi .$ Je supposerai de plus que la valeur moyenne de $f_{0}$ est nulle,

$[f_{0}]=0.$

Cela posé, je vais chercher à développer $y$ suivant les puissances de $\mu ,$ de telle sorte que

$y=y_{1}\mu +y_{2}\mu ^{2}+\dots +y_{n}\mu ^{n}+\dots ,$

En substituant cette valeur de $y$ dans $\varphi ,$ il vient

$\varphi =\varphi _{0}+\mu \varphi _{1}+\dots +\mu ^{n}\varphi _{n}+\dots ,$

et les équations différentielles deviendront

${\frac {d^{2}y_{0}}{dx^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}y_{1}}{dx^{2}}}=\varphi _{0},\quad {\frac {d^{2}y_{2}}{dx^{2}}}=\varphi _{1},\quad \dots ,\quad {\frac {d^{2}y_{n}}{dx^{2}}}=\varphi _{n-1},\quad \dots ,$

Nous voulons que $y_{1},\,y_{2},\,\dots$ soient des fonctions périodiques de $x.$ Cela sera possible, pourvu que les valeurs moyennes des seconds membres soient nulles, c’est-à-dire que l’on ait

$[\varphi _{0}]=0,\quad [\varphi _{1}]=0,\quad \dots ,\quad [\varphi _{n}]=0.$

La première condition est remplie d’elle-même, car on a

$\varphi _{0}=f_{0},\quad [\varphi _{0}]=[f_{0}]=0.$

D’autre part, il vient

$\varphi _{n}=\theta _{n}+f_{1}y_{n},$

$\theta _{n}$ ne dépendant que de $y_{1},$ $y_{2},$ $\dots ,$ $y_{n-1}.$

Soit $[y_{n}]$ la valeur moyenne de $y_{n},$ et posons

$y_{n}=\eta _{n}+[y_{n}],$

de telle façon que $\eta _{n}$ soit une fonction périodique de $x,$ dont la valeur moyenne soit nulle.