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CHAPITRE III.
Les équations (4′) s’écrivent alors
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}^{2}}{dt}}={\frac {d\Omega _{2}}{dy_{i}^{0}}}+\sideset {}{_{k}}\sum y_{k}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dy_{i}^{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da36a17277c05c06825000a5e275f0211137c88c)
ou
(10)
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étant une fonction périodique de
que l’on peut regarder
comme entièrement connue. Pour que l’on puisse tirer de cette
équation
sous la forme d’une fonction périodique, il faut et il
suffit que les seconds membres des équations (10), développés en
séries trigonométriques, ne possèdent pas de termes tout connus.
Nous devons donc disposer des quantités
de manière à annuler
ces termes tout connus. Nous serions ainsi conduits à trois équations
linéaires entre les trois quantités
mais, comme le
déterminant de ces trois équations est nul, il y a une petite difficulté et
je suis forcé d’entrer dans quelques détails.
Comme nous avons supposé plus haut que
pour
nous aurons
![{\displaystyle k_{1}^{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383c2766af79e020dc41271f1fd85f42e66ef202)
nous n’aurons plus alors que deux inconnues
et
et trois
équations à satisfaire ; mais ces trois équations ne sont pas distinctes,
comme nous allons le voir.
Appelons, en effet,
le terme tout connu de
ces trois
équations s’écriront (si l’on se rappelle que le signe de sommation
se rapporte aux termes tels que
)
(11)
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les deux dernières des équations (11) pourront aussi s’écrire
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}-\mathrm {E} _{2}&=k_{2}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}^{2}}}&{}+{}&k_{3}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}},\\-\mathrm {E} _{3}&=k_{2}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}}&{}+{}&k_{3}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{3}^{2}}}\cdot \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ef57bd9065fedcbf34c2722eea74bcf8155d48)