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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

où les $\mathrm {H} _{i}$ représentent des fonctions entièrement connues développées en séries suivant les sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi t}{\mathrm {T} }}.$ Les coefficients de $\mathrm {C} _{1}^{1},$ $\mathrm {C} _{2}^{1}$ et $\mathrm {C} _{3}^{1}$ sont des constantes que l’on peut regarder comme connues.

Pour que la valeur $y_{i}^{1}$ tirée de cette équation soit une fonction périodique de $t,$ il faut et il suffit que dans le second membre le terme tout connu soit nul. Si donc $\mathrm {H} _{i}^{0}$ désigne le terme tout connu de la série trigonométrique $\mathrm {H} _{i},$ je devrai avoir

(9)

$\mathrm {C} _{1}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}\,dx_{i}^{0}}}+\mathrm {C} _{2}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}\,dx_{i}^{0}}}+\mathrm {C} _{3}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{3}^{0}\,dx_{i}^{0}}}=\mathrm {H} _{i}^{0}.$

Les trois équations linéaires (9) déterminent les trois constantes $\mathrm {C} _{1}^{1},$ $\mathrm {C} _{2}^{1}$ et $\mathrm {C} _{3}^{1}.$

Il n’y aurait d’exception que si le déterminant de ces trois équations était nul ; c’est-à-dire si le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0}$ et $x_{3}^{0}$ était nul ; nous exclurons ce cas.

Les équations (8) me donneront donc

$y_{1}^{1}=\int _{0}^{t}{\frac {dy_{1}^{1}}{dt}}\,dt+k_{i}^{1}$

ou

${\begin{aligned}y_{1}^{1}&=\eta _{1}^{1}+k_{1}^{1},&y_{2}^{1}&=\eta _{2}^{1}+k_{2}^{1},&y_{3}^{1}&=\eta _{3}^{1}+k_{3}^{1}.\end{aligned}}$

les $\eta _{i}^{1}$ étant des fonctions périodiques de $t$ entièrement connues et les $k_{i}^{1}$ étant trois nouvelles constantes d’intégration. Il résulte d’ailleurs des équations que je viens d’écrire que $\eta _{1}^{1}=\eta _{2}^{1}=\eta _{3}^{1}=0$ pour $t=0.$

Venons maintenant aux équations (4′) en y faisant $k=2$ et $i=1,\,2,\,3$ et cherchons à déterminer, à l’aide des trois équations ainsi obtenues, les trois fonctions $x_{i}^{2}$ et les trois constantes $k_{i}^{1}.$

Il est aisé de voir que nous avons

$\Theta _{2}=\Omega _{2}+y_{1}^{1}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{0}}}+y_{2}^{1}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{2}^{0}}}+y_{3}^{1}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{3}^{0}}},$

où $\Omega _{2}$ dépend seulement des $x_{i}^{0},$ des $y_{i}^{0}$ et des $x_{i}^{1}$ et où l’on a, comme plus haut,

${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}=\textstyle \sum \mathrm {A} \,m_{i}\cos \omega .$