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CHAPITRE III.

termes de $\mathrm {F} _{1},$ pour lesquels le coefficient de $t$ est nul. Nous aurons alors

${\begin{aligned}{\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}}}&=\mathrm {S\,A} m_{2}\cos \omega ,&{\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{3}}}&=\mathrm {S\,A} m_{3}\cos \omega .\end{aligned}}$

Si donc on a

(6)

${\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}}}={\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{3}}}=0,$

il viendra, puisque d’ailleurs $m_{1}$ est nul,

(7)

$\mathrm {S\,A} m_{1}\cos \omega =0,\qquad \mathrm {S\,A} m_{2}\cos \omega =0,\qquad \mathrm {S\,A} m_{3}\cos \omega =0.$

Si donc les relations (6) sont satisfaites, les séries $\textstyle \sum \mathrm {A} m_{i}\cos \omega$ ne contiendront pas de terme tout connu, et les équations (4) nous donneront

${\begin{aligned}x_{1}^{1}&=\sum {\frac {\mathrm {A} \sin \omega }{n_{1}}}+\mathrm {C} _{1}^{1},\qquad x_{2}^{1}&=\sum {\frac {\mathrm {A} m_{2}\sin \omega }{m_{1}n_{1}}}+\mathrm {C} _{2}^{1},\end{aligned}}$

$x_{3}^{1}=\sum {\frac {\mathrm {A} m_{3}\sin \omega }{m_{1}n_{1}}}+\mathrm {C} _{3}^{1},$

$\mathrm {C} _{1}^{1},$ $\mathrm {C} _{2}^{1}$ et $\mathrm {C} _{3}^{1}$ étant trois nouvelles constantes d’intégration.

Il me reste à démontrer que l’on peut choisir les constantes $\varpi _{2}$ et $\omega _{3}$ de façon à satisfaire aux relations (6). La fonction $[\mathrm {F} _{1}]$ est une fonction périodique de $\varpi _{2}$ et de $\varpi _{3}$ qui ne change pas quand l’une de ces deux variables augmente de $2\pi .$ De plus elle est finie ; elle aura donc au moins un maximum et un minimum. Il y a donc au moins deux manières de choisir $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ de façon à satisfaire aux relations (6).

Je pourrais même ajouter qu’il y en a au moins quatre, sans pouvoir toutefois affirmer qu’il en est encore de même quand le nombre de degrés de liberté est supérieur à 3.

Je vais maintenant chercher à déterminer, à l’aide des équations (5), les trois fonctions $y_{i}^{1}$ et les trois constantes $\mathrm {C} _{i}^{1}.$

Nous pouvons regarder comme connus les $x_{i}^{0}$ et les $y_{i}^{0}\,;$ les $x_{i}^{1}$ sont connus également aux constantes près $\mathrm {C} _{i}^{1}.$ Je puis donc écrire les équations (5) sous la forme suivante,

(8)

${\frac {dy_{i}^{1}}{dt}}=\mathrm {H} _{i}-\mathrm {C} _{1}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}\,dx_{i}^{0}}}-\mathrm {C} _{2}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}\,dx_{i}^{0}}}-\mathrm {C} _{3}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{3}^{0}\,dx_{i}^{0}}},$