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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Intégrons d’abord les équations (4). Dans $\mathrm {F} _{1}$ nous remplacerons $y_{1}^{0},$ $y_{2}^{0},$ $y_{3}^{0}$ par leurs valeurs

$n_{1}t,\quad \varpi _{2},\quad \varpi _{3}.$

Alors les seconds membres des équations (4) sont des fonctions périodiques de $t$ de période $\mathrm {T} \,;$ ces seconds membres peuvent donc être développés en séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de ${\frac {2\pi t}{\mathrm {T} }}.$ Pour que les valeurs de $x_{1}^{1},$ $x_{2}^{1}$ et $x_{3}^{1}$ tirées des équations (4) soient des fonctions périodiques de $t,$ il faut et il suffit que ces séries ne contiennent pas de termes tout connus.

Je puis écrire, en effet,

$\mathrm {F} _{1}=\sum \mathrm {A} \sin(m_{1}y_{1}^{0}+m_{2}y_{2}^{0}+m_{3}y_{3}^{0}+h),$

où $m_{1},$ $m_{2},$ $m_{3}$ sont des entiers positifs ou négatifs et où $\mathrm {A}$ et $h$ sont des fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $x_{3}^{0}.$ J’écrirai, pour abréger,

$\mathrm {F} _{1}=\sum \mathrm {A} \sin \omega ,$

en posant

$\omega =m_{1}y_{1}^{0}+m_{2}y_{2}^{0}+m_{3}y_{3}^{0}+h.$

Je trouverai alors

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{0}}}&={\textstyle \sum }\mathrm {A} m_{1}\cos \omega ,&{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dy_{1}^{0}}}&={\textstyle \sum }\mathrm {A} m_{2}\cos \omega ,&{\frac {d\mathrm {F} _{3}}{dy_{1}^{0}}}&={\textstyle \sum }\mathrm {A} m_{3}\cos \omega \end{aligned}}$

et

$\omega =tm_{1}n_{1}+h+m_{2}\varpi _{2}+m_{3}\varpi _{3}.$

Parmi les termes de ces séries, je distinguerai ceux pour lesquels

$m_{1}=0$

et qui sont indépendants de $t.$

$\mathrm {F} _{1}$ étant une fonction périodique de $t,$ j’appellerai $[\mathrm {F} _{1}]$ la valeur moyenne de cette fonction et j’aurai

$[\mathrm {F} _{1}]=\mathrm {S\,A} \sin \omega ,\qquad (m_{1}=0,\;\omega =h+m_{2}\varpi _{2}+m_{3}\varpi _{3}),$

la sommation représentée par le signe $\mathrm {S}$ s’étendant à tous les