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CHAPITRE III.

2^o Que le déterminant fonctionnel de ${\frac {\psi _{2}}{\mu }}$ et ${\frac {\psi _{3}}{\mu }},$ par rapport à $\beta _{5}$ et $\beta _{6},$ est égal à $\mathrm {T} ^{2}$ multiplié par le hessien de $[\mathrm {F} _{1}]$ par rapport à $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}.$

Il résulte de là que l’on peut choisir les constantes $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ de façon à satisfaire aux équations (13). Il reste, pour établir l’existence des solutions périodiques, à faire voir que le déterminant fonctionnel de ces équations, c’est-à-dire

${\frac {\partial \left({\dfrac {\psi _{2}}{\mu }},{\dfrac {\psi _{3}}{\mu }},\psi _{4},\psi _{5},\psi _{6}\right)}{\partial (\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3},\beta _{5},\beta _{6})}},$

n’est pas nul.

Or,pour $\mu =0,$ $\psi _{4},$ $\psi _{5}$ et $\psi _{6}$ ne dépendent que de $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\beta _{3}$ et non de $\beta _{5}$ et de $\beta _{6}.$ Ce déterminant fonctionnel est donc le produit de deux autres

${\frac {\partial \left({\dfrac {\psi _{2}}{\mu }},{\dfrac {\psi _{3}}{\mu }}\right)}{\partial (\beta _{5},\beta _{6})}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {\partial (\psi _{4},\psi _{5},\psi _{6})}{\partial (\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})}}\cdot$

Or nous venons de calculer ces deux déterminants fonctionnels, et nous avons vu qu’ils sont égaux, à un facteur constant près, l’un au hessien de $[\mathrm {F} _{1}]$ par rapport à $\varpi _{2}$ et à $\varpi _{3},$ l’autre au hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport aux $x.$

Donc, si aucun de ces deux hessiens n’est nul, les équations (1) admettront des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu .$

Nous allons maintenant chercher à déterminer, non plus seulement les solutions périodiques de période $\mathrm {T,}$ mais les solutions de période peu différente de $\mathrm {T.}$ Nous avons pris pour point de départ les trois nombres $n_{1},$ $n_{2},$ $n_{3}\,;$ nous aurions pu tout aussi bien choisir trois autres nombres, $n'_{1},$ $n'_{2},$ $n'_{3},$ pourvu qu’ils soient commensurables entre eux, et nous serions arrivés à une solution périodique dont la période $\mathrm {T}$ aurait été le plus petit commun multiple de ${\frac {2\pi }{n'_{1}}},$ ${\frac {2\pi }{n'_{2}}},$ ${\frac {2\pi }{n'_{3}}}\cdot$

Si nous prenons en particulier

$n'_{1}=n_{1}(1+\varepsilon ),\quad n'_{2}=n_{2}(1+\varepsilon ),\quad n'_{3}=n_{3}(1+\varepsilon ),$