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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

$m_{1},\,m_{2},\,m_{3}$ étant des entiers positifs, pendant que $\mathrm {A}$ et $h$ sont des fonctions des $x$ indépendantes des $y.$

Il vient alors

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}&={\textstyle \sum }\mathrm {A} \sin \omega ,&{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}&={\textstyle \sum }\mathrm {A} m_{i}\cos \omega ={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\varpi _{i}}},\end{aligned}}$

où l’on a posé, pour abréger,

$\omega =t(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}+m_{3}n_{3})+h+m_{2}(\varpi _{2}+\beta _{5})+m_{3}(\varpi _{3}+\beta _{6})\,;$

$\mathrm {F} _{1}$ devient ainsi une fonction périodique de $t$ de période $\mathrm {T} \,;$ c’est également une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport à $\varpi _{2}+\beta _{5}$ et $\varpi _{3}+\beta _{6}.$

Je désignerai par $[\mathrm {F} _{1}]$ la valeur moyenne de la fonction périodique $\mathrm {F} _{1},$ de telle façon que

$\mathrm {F} _{1}={\frac {1}{\mathrm {T} }}\int _{0}^{\mathrm {T} }\mathrm {F} _{1}\,dt=\mathrm {S\,A} \,\sin \omega ,$

le signe $\mathrm {S}$ signifiant que la sommation doit être étendue à tous les termes tels que

$m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}+m_{3}n_{3}=0.$

Il vient alors

${\begin{aligned}{\frac {\psi _{i}}{\mu }}&=\mathrm {T} {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{i}}},&{\frac {d}{d\beta _{k+3}}}\left({\frac {\psi _{i}}{\mu }}\right)&=\mathrm {T} {\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{i}\,d\varpi _{k}}}\cdot \end{aligned}}$

On en conclut :

1^o Qu’il est toujours possible de choisir $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ de telle façon que les équations

${\frac {\psi _{2}}{\mu }}={\frac {\psi _{3}}{\mu }}=0$

soient satisfaites pour $\beta _{5}=\beta _{6}=0.$

En effet, la fonction $[\mathrm {F} _{1}],$ qui est finie, est périodique en $\varpi _{2}$ et en $\varpi _{3}\,:$ elle admet donc un maximum et un minimum ; on aura, pour ce maximum ou ce minimum,

${\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}}}={\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{3}}}=0.$

et, par conséquent,

${\frac {\psi _{2}}{\mu }}={\frac {\psi _{3}}{\mu }}=0.$
C.Q.F.D.