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CHAPITRE III.

Pour $\mu =0,$ on connaît la solution générale des équations (1) ; on trouve donc aisément

${\begin{aligned}\psi _{4}&=-\mathrm {T} {\frac {\partial }{\partial \beta _{1}}}\mathrm {F} _{0}(a_{1}+\beta _{1},\,a_{2}+\beta _{2},\,a_{3}+\beta _{3}),\\\psi _{5}&=-\mathrm {T} {\frac {\partial }{\partial \beta _{2}}}\mathrm {F} _{0}(a_{1}+\beta _{1},\,a_{2}+\beta _{2},\,a_{3}+\beta _{3}),\\\psi _{6}&=-\mathrm {T} {\frac {\partial }{\partial \beta _{3}}}\mathrm {F} _{0}(a_{1}+\beta _{1},\,a_{2}+\beta _{2},\,a_{3}+\beta _{3}).\end{aligned}}$

Le déterminant fonctionnel de $\psi _{4},\,\psi _{5}$ et $\psi _{6}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2}$ et $\beta _{3}$ est donc égal, au facteur près $-\mathrm {T} ^{3},$ au hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport aux $x.$

Je me propose maintenant d’exprimer ${\frac {\psi _{1}}{\mu }},$ ${\frac {\psi _{2}}{\mu }}$ et ${\frac {\psi _{3}}{\mu }}$ en fonctions de $\beta _{4},$ $\beta _{5}$ et $\beta _{6},$ en supposant $\mu =0$ et en même temps

$\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=0.$

Or on trouve

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{i}-a_{i}}{\mu }}\right)={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}+\mu {\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dy_{i}}}+\mu ^{2}{\frac {d\mathrm {F} _{3}}{dy_{i}}}+\dots \,;$

d’où

${\frac {\psi _{i}}{\mu }}=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}\,dt+\mu \int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dy_{i}}}\,dt+\dots \qquad (i=1,\,2,\,3),$

ou, pour $\mu =0,$

(3)

${\frac {\psi _{i}}{\mu }}=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}\,dt.$

Puisque nous supposons $\mu =0$ et en même temps

$\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=0,$

et si l’on se rappelle que $\varpi _{1}=\beta _{4}=0,$ nous devons, dans le second membre de l’équation (3), remplacer $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3},$ respectivement par

$a_{1},\quad a_{2},\quad a_{3},\quad n_{1}t,\quad n_{2}t+\varpi _{2}+\beta _{5},\quad n_{3}t+\varpi _{3}+\beta _{6}.$

Alors ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}$ devient une fonction périodique de $t.$

Nous pouvons écrire

$\mathrm {F} _{1}=\textstyle \sum \mathrm {A} \sin(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}+h),$