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SOLUTIONS PERIODIQUES.

des $y$ pour $t=\mathrm {T}$ soient

${\begin{alignedat}{6}x_{1}&=a_{1}&{}+{}&\beta _{1}&{}+{}&\psi _{1},\\x_{2}&=a_{2}&{}+{}&\beta _{2}&{}+{}&\psi _{2},\\x_{3}&=a_{3}&{}+{}&\beta _{3}&{}+{}&\psi _{1},\\y_{1}&=\varpi _{1}&{}+{}&n_{1}\mathrm {T} &{}+{}&\beta _{4}+\psi _{4},\\y_{2}&=\varpi _{2}&{}+{}&n_{2}\mathrm {T} &{}+{}&\beta _{5}+\psi _{5},\\y_{3}&=\varpi _{3}&{}+{}&n_{3}\mathrm {T} &{}+{}&\beta _{6}+\psi _{6}.\end{alignedat}}$

La condition pour que cette solution soit périodique de période $\mathrm {T} ,$ c’est que l’on ait

(12)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0.$

Les six équations (12) ne sont pas distinctes. En effet, comme $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$ est une intégrale des équations (1), et que d’ailleurs $\mathrm {F}$ est périodique par rapport aux $y,$ on a

${\begin{aligned}\mathrm {F} (a_{i}+\beta _{i},\;\varpi _{i}+\beta _{i+3})&=\mathrm {F} (a_{i}+\beta _{i}+\psi _{i},\;\varpi _{i}+n_{i}\mathrm {T} +\beta _{i+3}+\psi _{i+3})\\&=\mathrm {F} (a_{i}+\beta _{i}+\psi _{i},\;\varpi _{i}+\beta _{i+3}+\psi _{i+3}).\\\end{aligned}}$

Il nous suffira donc de satisfaire à cinq des équations (12). Je supposerai, de plus,

$\varpi _{1}=\beta _{4}=0.$

Il suffit, pour cela, de choisir l’origine du temps de telle sorte que $y_{1}$ soit nul pour $t=0.$

Il est aisé de voir que les $\psi _{i}$ et les $\psi _{i+3}$ sont des fonctions holomorphes de $\mu$ et des $\beta ,$ s’annulant quand toutes ces variables s’annulent.

Il s’agit donc de démontrer que l’on peut tirer des cinq dernières équations (12) les $\beta _{i}$ en fonctions de $\mu .$

Remarquons que, quand $\mu$ est nul, on a identiquement

$\psi _{1}=\psi _{2}=\psi _{3}=0.$

Par conséquent, $\psi _{1},\,\psi _{2}$ et $\psi _{3},$ développés suivant les puissances de $\mu$ et des $\beta ,$ contiennent $\mu$ en facteur. Nous supprimerons ce facteur $\mu ,$ et nous écrirons par conséquent les cinq équations (12) que nous avons à résoudre sous la forme

(13)

${\frac {\psi _{2}}{\mu }}={\frac {\psi _{3}}{\mu }}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0.$