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SOLUTIONS PERIODIQUES.
on a
![{\displaystyle \xi _{0}=\xi '_{0}=\eta '_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ef824b6c180688a65c70b06cfe339563662e0d)
et j’appelle
la valeur correspondante de ![{\displaystyle \eta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567f458c000373b4ddd6021e8b897f51bbdd7b72)
Au bout d’un temps
égal au quart d’une période, cette Lune
se trouvera en conjonction symétrique, et l’on aura
![{\displaystyle \eta =0,\quad \xi '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec89156bb73fd36d8d62c39032b0881dd0df65a)
Considérons maintenant une autre solution particulière de nos
équations différentielles, et soient
![{\displaystyle 0,\quad \xi '_{0},\quad \eta _{0},\quad 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53552aa54faabc0e8dfad5fbbd5e990f8c76ffbd)
les valeurs initiales de
![{\displaystyle \xi ,\quad \xi ',\quad \eta ,\quad \eta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16a0e5d7fb8241a2b96dcd84cd4cec71e89e51d)
de telle façon qu’à l’origine des temps on soit en quadrature symétrique.
Considérons les valeurs de
et de
au bout du temps
et soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=f_{1}(\mathrm {T} +\tau ,\,\xi '_{0},\,\eta _{0}),\\\xi '&=f_{2}(\mathrm {T} +\tau ,\,\xi '_{0},\,\eta _{0}).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa7263dbd635308a7af7396726ab05db4457f5b)
et
seront développables suivant les puissances de
de
et de
et s’annuleront pour
![{\displaystyle \tau =\xi '_{0}=0,\quad \eta _{0}=\eta _{0}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39191d967fbfbdbc3702a4b20cdc748fedef9a76)
Si l’on a
(2)
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on sera, au bout du temps
en conjonction symétrique, et
la solution sera périodique de période ![{\displaystyle 4\mathrm {T} +4\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64067f21a1a966bd605060f2a756d61e925daa1)
On peut tirer des équations (2)
et
en fonctions de
et
et
seront développables suivant les puissances de
Il n’y aurait d’exception en vertu du no 30 que si le déterminant
fonctionnel de
et
par rapport à
et
s’annulait
précisément pour
![{\displaystyle \tau =\xi '_{0}=0,\quad \eta _{0}=\eta _{0}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39191d967fbfbdbc3702a4b20cdc748fedef9a76)
Il est extrêmement invraisemblable qu’il en soit ainsi ; quelques
doutes pourraient cependant encore subsister, si les quadratures
mécaniques de M. Hill ne prouvaient nettement le contraire. Voici,