Il ne peut donc y avoir aucune espèce de doute au sujet de l’exactitude de ses résultats.
Il est aisé de se rendre compte de la signification de ces points de rebroussement. Je suppose qu’à un instant quelconque la vitesse relative de la masse par rapport aux axes mobiles devienne nulle, de façon qu’on ait à la fois
il est clair que la trajectoire relative présentera un point de rebroussement. C’est ce qui arrive pour la « Moon of maximum lunation » de M. Hill.
M. Hill s’exprime ensuite comme il suit :
« The Moon of the last line (c’est-à-dire the Moon of maximum lunation) is, of the class of satellites considered in this Chapter, that which, having the longest lunation, is still able to appear at all angles with the Sun and then undergo all possible phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this Moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures and that the Moons describing them would make oscillations to and for, never departing as much as 90° from the points of conjunction or of opposition. »
Ce n’est là, de la part de l’auteur, qu’une simple intuition ne reposant sur aucun calcul ou raisonnement. De simples considérations de continuité analytique me permettent d’affirmer que cette intuition l’a trompé.
On peut d’abord se demander si les solutions de la première sorte existent encore pour ou, en d’autres termes, si la classe de satellites étudiée par M. Hill peut être prolongée au delà de la Lune de lunaison maximum. Supposons, à cet effet, qu’à l’origine des temps la masse (c’est-à-dire la Lune) soit en quadrature (sur l’axe des ), et que sa vitesse relative par rapport aux axes mobiles soit perpendiculaire à l’axe des
J’appelle les valeurs initiales de et Dans le cas de la Lune de lunaison maximum de M. Hill,
