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CHAPITRE III.

où

\lambda _{0}={\frac {2n\pi }{n'-n}}\left(1+{\frac {\beta _{1}}{\Lambda _{0}}}\right)^{-3},\quad \lambda '_{0}={\frac {2n'\pi }{n'-n}}\left(1+{\frac {\beta _{2}}{\Lambda '_{0}}}\right)^{-3}\cdot

$\lambda _{0}$ et $\lambda '_{0}$ désignent donc les valeurs des deux longitudes à la fin de la période, de telle façon que

2\pi +\psi _{0}=\lambda '_{0}-\lambda _{0}.

On voit ainsi que, pour $\mu =0,$ $\mathrm {F}$ et $\psi _{0}$ dépendent seulement de $\beta _{1}$ et $\beta _{2}\,;$ $\psi _{3}$ et $\psi _{4}$ de $\beta _{1},$ $\xi _{0}$ et $\eta _{0}\,;$ $\psi _{5}$ et $\psi _{6}$ de $\beta _{2},$ $\xi '_{0}$ et $\eta '_{0}.$

Notre déterminant fonctionnel est donc le produit de trois autres :

1^o Celui de $\mathrm {F} _{0}$ et $\psi _{0}$ par rapport à $\beta _{1}$ et $\beta _{2}\,;$

2^o Celui de $\psi _{3}$ et $\psi _{4}$ par rapport à $\xi _{0}$ et $\eta _{0}\,;$

3^o Celui de $\psi _{5}$ et $\psi _{6}$ par rapport à $\xi '_{0}$ et $\eta '_{0}.$

Le premier de ces trois déterminants ne s’annule que pour $\Lambda _{0}=-\Lambda '_{0},$ $n=-n'\,;$ cela n’a d’ailleurs pas d’importance, parce que, s’il s’annule, au lieu d’adjoindre au système (2) l’équation des forces vives, on y adjoindra toute autre équation arbitrairement choisie entre $\beta _{1}$ et $\beta _{2}\,;$ quoi qu’il en soit, le cas de $n=-n'$ présentant des difficultés de diverse nature et n’ayant pas d’importance au point de vue des applications, nous le laisserons de côté.