Il peut se faire alors que les coordonnées des trois masses, par rapport aux axes fixes, ne soient pas des fonctions périodiques du temps, tandis que les coordonnées par rapport aux axes mobiles seront, au contraire, des fonctions périodiques du temps (cf. no 36.)
Supposons maintenant que les deux petites masses décriront des ellipses képlériennes ; supposons que ces deux ellipses soient dans un même plan, dans le plan des par exemple, et que leur excentricité soit nulle. Le mouvement des deux petites masses sera alors circulaire et uniforme ; soient et les moyens mouvements de ces deux masses ().
Supposons que l’origine du temps ait été choisie au moment d’une conjonction de telle sorte que la longitude initiale des deux masses soit nulle.
Au bout du temps ces longitudes seront devenues respectivement
et leur différence sera égale à
Les deux masses se retrouvant en conjonction, les trois corps seront de nouveau dans la même situation relative. Tout le système aura seulement tourné d’un angle égal à
Si donc l’on rapporte le système à des axes mobiles tournant d’un mouvement uniforme avec une vitesse angulaire égale à les coordonnées des trois corps par rapport à ces axes mobiles seront des fonctions périodiques du temps de période
À ce point de vue, et d’après ce que nous avons dit à la fin du no 36, cette solution pourra encore être regardée comme périodique.
Ainsi dans le cas-limite où le problème des trois corps admet des solutions périodiques. Avons-nous le droit d’en conclure qu’il en admettra encore pour les petites valeurs de ? C’est ce que les principes des nos 37 et 38 vont nous permettre de décider.
La première solution périodique qui ait été signalée pour le cas où est celle qu’a découverte Lagrange et où les trois corps décrivent des ellipses képlériennes semblables, pendant que leurs
