Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/107

95

SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

il viendra

$\Phi (\beta _{1},\mu )=0.$

On verrait, comme au numéro précédent, que $\Phi '$ est divisible par $\Phi .$ La courbe $\Phi =0$ peut donc être regardée comme une des branches de la courbe $\Phi '=0\,;$ comme le déterminant fonctionnel des $\psi '_{i}$ est nul, on doit avoir

${\frac {d\Phi '_{i}}{d\beta _{i}}}=0.$

Donc, ou bien la courbe $\Phi '=0$ a plusieurs branches passant par l’origine, ou bien la tangente doit être la droite $\mu =0.$

Mais nous connaissons déjà l’une des branches de la courbe $\Phi '=0,$ savoir $\Phi =0,,$ et nous savons que la tangente à cette branche n’est pas la droite $\mu =0.$ Donc la courbe $\Phi '=0$ a d’autres branches passant par l’origine.

Ce qui veut dire que les équations différentielles admettent des solutions périodiques dont la période est peu différente de $k\mathrm {T} ,$ qui sont distinctes des solutions périodiques de période $\mathrm {T}$ pour les petites valeurs de $\mu ,$ mais qui se confondent avec elles pour $\mu =0.$

Application au Problème des trois corps.

39. Le Problème des trois corps admet-il des solutions périodiques ?

Reprenons les notations du n^o 11 et désignons les trois masses par $m_{1},$ $\alpha _{2}\mu$ et $\alpha _{3}\mu .$ Si l’on fait $\mu =0,$ c’est-à-dire si les deux petites masses sont regardées comme nulles, la grande masse sera fixe et chacune des deux petites décrira autour de la grande une ellipse képlérienne.

il est clair alors que, si les moyens mouvements de ces deux petites masses sont commensurables entre eux, au bout d’un certain temps, tout le système se retrouvera dans sa situation initiale et, par conséquent, la solution sera périodique.

Ce n’est pas tout : au lieu de rapporter les trois masses à des axes fixes (ou à des axes mobiles qui restent constamment parallèles aux axes fixes, comme dans le n^o 11), on peut les rapporter à des axes mobiles animés d’un mouvement de rotation uniforme.