94
CHAPITRE III.
où
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {F} [\varphi _{1}(0),\varphi _{2}(0),\dots ,\varphi _{n}(0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27740b146f11cec69c539aa3672aad6bd95430b)
pendant que
est une constante quelconque.
On pourra aussi remplacer les équations (3) par les suivantes :
![{\displaystyle \beta _{n}=0,\qquad \tau =0,\qquad \psi _{2}=\psi _{3}=\dots =\psi _{n}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8b69c865fa89fd22ab698cdfe00a8a1f3887ea)
d’où cette conséquence importante : dans le cas général, il n’y a
pas, pour les petites valeurs de
de solution périodique ayant
même période
que pour
au contraire, s’il existe une
intégrale
on pourra trouver, pourvu que
soit assez petit,
une solution périodique ayant précisément pour période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
En effet, si l’on n’a pas
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f356584261eb8c9f2e2057b247cdbddf9881e2)
pour
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1378b74721dd97c1366bd3000948b27f2c51b67)
les équations
![{\displaystyle \psi _{2}=\psi _{3}=\dots =\psi _{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d491987905134d4ef297383922d0bf4cd2a7b8)
entraînent ![{\displaystyle \psi _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b7ad19940ec5cb082f65ad760a3ecc0aef995a)
Voici une autre circonstance que nous avons rencontrée dans le
numéro précédent et que nous retrouverons ici.
Soient
la valeur de
pour
la valeur de
pour
et
la valeur
de
pour
étant un entier.
Imaginons que le déterminant fonctionnel des
par rapport à
ne soit pas nul, mais que le déterminant
fonctionnel des
soit nul.
Éliminons
et
entre les équations
![{\displaystyle \psi _{i}=0,\quad \beta _{n}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e53ef76214acddfebf9f5774029172ab30ab55c)
nous obtiendrons l’équation unique
![{\displaystyle \Phi (\beta _{1},\mu )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dc49445e81975be20361ebea4fd53480a02ec5)
que nous regarderons comme représentant une courbe ; cette courbe a un point simple à l’origine.
Éliminons maintenant
et
entre les équations
![{\displaystyle \psi '_{i}=0,\qquad \beta _{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ec35cf728f71e02d2e2321ad501bc59f1379a4)