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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

entre les équations (3), et l’on obtiendra une équation unique

$\Phi (\beta _{1},\mu )=0,$

analogue à l’équation de même forme du numéro précédent.

Cette équation pourra être regardée comme représentant une courbe passant par l’origine, et l’étude de cette courbe fera connaître toutes les circonstances qui pourront se présenter.

Nous rencontrerons d’ailleurs absolument les mêmes particularités que dans le numéro précédent.

Par exemple, les solutions périodiques, quand on fera varier $\mu$ d’une manière continue, ne pourront disparaître que par couples, à la façon des racines des équations algébriques.

Il pourra aussi arriver que, si l’on fait $\mu =0$ et $\beta _{n}=0,$ il existe une infinité de solutions périodiques. Alors $\Phi$ est divisible par $\mu ,$ et l’on peut écrire

$\Phi =\mu \Phi _{1},$

de telle façon que la courbe $\Phi =0$ se décompose en deux, la droite $\mu =0$ et la courbe $\Phi _{1}=0.$ On aura, dans ce cas, avantage à remplacer l’équation

$\Phi =0$

par l’équation

$\Phi _{1}=0.$

Il arrivera même que quelques-unes des fonctions $\psi _{i}$ soient divisibles par $\mu \,;$ de telle façon que, par exemple,

$\psi _{1}=\mu \psi '_{1},\qquad \psi _{2}=\mu \psi '_{2},\qquad \psi _{3}=\mu \psi '_{3},$

$\psi '_{1},\,\psi '_{2},\,\psi '_{3}$ étant des fonctions holomorphes de $\mu ,$ des $\beta$ et de $\tau .$

On aura alors avantage à remplacer les équations (3) par les suivantes :

$\beta _{n}=0,\qquad \psi '_{1}=\psi '_{2}=\psi '_{3}=0,\qquad \psi _{4}=\psi _{5}=\dots =\psi _{n}=0.$

Nous en verrons des exemples dans la suite.

Si l’on suppose qu’il existe une intégrale

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\mathrm {const.} ,$

les équations (3) ne sont plus distinctes et on les remplacera avec avantage par les suivantes

$\beta _{n}=0,\quad \mathrm {F} =\mathrm {C} +\lambda \mu ,\quad \psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$