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CHAPITRE III.

d’autres relations linéaires de la même forme, c’est-à-dire de la forme

(2)

$\mathrm {A} _{1}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\dots +\mathrm {A} _{n}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}+\mathrm {A} _{n+1}{\frac {d\psi _{i}}{d\tau }}=0$

$(i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Sans cela, en effet, tous les déterminants $\Delta _{i}$ s’annuleraient à la fois.

Nous avons supposé que $\Delta _{n}$ est nul. Or ce déterminant n’est autre chose que le déterminant fonctionnel de $\psi _{1},$ $\psi _{2},$ $\dots ,$ $\psi _{n}$ et $\beta _{n}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\tau .$ Dire que ce déterminant est nul, c’est donc dire que l’on a entre les dérivées des $\psi$ des relations de la forme (2) et que l’on a de plus

$\mathrm {A} _{1}{\frac {d\beta _{n}}{d\beta _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\beta _{n}}{d\beta _{2}}}+\dots +\mathrm {A} _{n}{\frac {d\beta _{n}}{d\beta _{n}}}+\mathrm {A} _{n+1}{\frac {d\beta _{n}}{d\tau }}=0,$

c’est-à-dire

$\mathrm {A} _{n}=0.$

Or il ne peut y avoir d’autres relations de la forme (2) que les relations (1). On a donc

$\mathrm {A} _{n}=\varphi '_{n}(0)$

et, par conséquent,

$\varphi '_{n}(0)=0.$

Si donc $\varphi '_{n}(0)$ n’est pas nul (et l’on peut toujours le supposer ; car, s’il n’en était pas ainsi, un changement de variables approprié suffirait pour nous ramener à ce cas), il est inutile d’envisager tous les déterminants $\Delta _{i}\,:$ la considération de $\Delta _{n}$ suffit.

Si $\Delta _{n}$ n’est pas nul, on résoudra par rapport aux $\beta$ les équations

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=\beta _{n}=0.$

Il semble d’abord que l’introduction arbitraire de l’équation $\beta _{n}=0$ diminue la généralité et qu’on ne peut trouver ainsi que les solutions périodiques, qui sont telles que $\beta _{n}$ soit nul pour $t=0.$ Mais on trouvera les autres en changeant $t$ en $t+h,$ $h$ étant une constante quelconque.

Si, au contraire, $\Delta _{n}$ est nul, on éliminera $\beta _{2},\beta _{3},\dots ,\beta _{n}$ et $\tau$