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CHAPITRE III.
Nous avons donc à résoudre par rapport aux
inconnues
![{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots ,\,\beta _{n},\,\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187ca51327dcf16958a7784690bbdfc27d2617ab)
les
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
équations
(5)
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Nous avons une inconnue de trop ; nous pouvons donc poser arbitrairement,
par exemple,
![{\displaystyle \beta _{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6806aa54b6432b097ed2c9abc6aebdd5a3909654)
Nous tirerons ensuite des équations (5),
et
en
fonctions holomorphes de
s’annulant avec
Cela est possible, à
moins que le déterminant
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72e9772c587ac1b1cd5527a7af73c33f7c0a9cd)
ne soit nul pour ![{\displaystyle \mu =\varphi _{i}=\tau =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fada5b4905a5ef965296be8724484521225f5e)
Si ce déterminant était nul, au lieu de poser arbitrairement
on poserait, par exemple,
et la méthode ne serait en
défaut que si tous les déterminants contenus dans la matrice
![{\displaystyle \left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14381d0ef4fe7f98774d91e348aa976ac4320c7c)
étaient nuls à la fois. (Il est à remarquer que le déterminant obtenu
en supprimant la dernière colonne de cette matrice est toujours
nul pour
)
Comme en général tous ces déterminants ne seront pas nuls à la
fois, les équations (1) admettront, pour les petites valeurs de
une
solution périodique de période