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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Cas où le temps n’entre pas explicitement dans les équations.

38.Dans ce qui précède, nous avons supposé que les fonctions $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\dots ,$ $\mathrm {X} _{n},$ qui entrent dans les équations différentielles (1), dépendent du temps $t.$ Les résultats seraient modifiés si le temps $t$ n’entre pas dans ces équations.

Il y a d’abord entre les deux cas une différence qu’il est impossible de ne pas apercevoir. Nous avions supposé dans ce qui précède que les $\mathrm {X} _{i}$ étaient des fonctions périodiques du temps et que la période était $2\pi \,;$ il en résultait que, si les équations admettaient une solution périodique, la période de cette solution devait être égale à $2\pi$ ou à un multiple de $2\pi .$ Si, au contraire, les $\mathrm {X} _{i}$ sont indépendants de $t,$ la période d’une solution périodique peut être quelconque.

En second lieu, si les équations (1) admettent une solution périodique (et si les $\mathrm {X}$ ne dépendent pas de $t$), elles en admettent une infinité.

Si, en effet,

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)\end{aligned}}$

est une solution périodique des équations (1), il en sera de même, quelle que soit la constante $h,$ de

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t+h),&x_{2}&=\varphi _{2}(t+h),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t+h).\end{aligned}}$

Ainsi le cas sur lequel nous nous sommes étendus d’abord et dans lequel, pour $\mu =0,$ les équations (1) admettent une solution périodique et une seule, ne peut se présenter si les $\mathrm {X}$ ne dépendent pas de $t.$

Plaçons-nous donc dans le cas où le temps $t$ n’entre pas explicitement dans les équations (1) et supposons que pour $\mu =0$ ces équations admettent une solution périodique de période $\mathrm {T}$

(4)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t).\end{aligned}}$

Soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0\,;$ soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} +\tau .$

Les $\psi _{i}$ seront des fonctions holomorphes de $\mu ,$ de $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et de $\tau$ s’annulant avec ces variables.